《2015届高考数学（理）基础知识总复习名师讲义：第6章 第8节 不等式的证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高考数学（理）基础知识总复习名师讲义：第6章 第8节 不等式的证明（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八节第八节 不等式的证明不等式的证明知识梳理 一、比较法 比较法又分为作差比较和作商比较，作差比较最常用 1作差比较：AB0AB. 作差比较的步骤： (1)作差：对要比较大小的两个数(或式)作差； (2)变形：对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全 平方和； (3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符 号 注：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差 来比较大小；含方根的式子大小比较时，常要将它们平方或立 方，再比较，其根据是：若pq0，则，p2q2；若mn，pq 则m3n3，.3m3n2作商比较： 1(B0)AB.多用于都是正数、单项情A B 况下，比值与 1 比较
2、 二、综合法 利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性 导出待证不等式的方法叫综合法，概括为“由因导果” 三、分析法 从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分1.了解直接证明的两种方法分析法和综合法；了解分析法和综合法 的思考过程、特点 2.掌握综合证明法中的比较法 3.掌握如下证明不等式的方法：反证法、放缩法；了解如下证明不等式 的方法：换元法、判别式法、构造法、数学归纳法条件的方法叫分析法，概括为“执果索因” 基本步骤：要证只需证只需证 (1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件 或者是充要条件 (2) “分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是 太方便
3、，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用 “综合法”进行表达 四、反证法 从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，从而肯定原 结论的正确运用反证法的策略：正难则反 五、放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题的目的，即欲 证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得 BB1，B1B2A(或AA1，A1A2B) 常用的放缩方式有： (1)添加或舍去一些项，如：；n；a21 |a|nn1 (2)将分子或分母放大(或缩小)；(3)利用基本不等式，如：lg 3lg 5 (程度1 k21 kk11 k11 k1 k21 kk11 k1 k1 大)；1 Dlg 9lg 111解析：解
4、析：因为 lg 9lg 11b Ba0，求证： 2a3b32ab2a2b.证明：证明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2) (a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab) 因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0， 从而(ab)(ab)(2ab)0， 即 2a3b32ab2a2b.2(2012重庆卷)设数列an的前n项和Sn满足 Sn1a2Sna1，其中a20. (1)求证：an是首项为 1 的等比数列；(2)若a21，求证：Sn (a1an)，并给出等号成立的充n 2 要条件证明：证明：(1)由S2a2S1a1，得a1a2a1a2a1，即 a2a2a1. 因a20，故
5、a11，得a2.a2 a1 又由题设条件知Sn2a2Sn1a1， Sn1a2Sna1, 两式相减得Sn2Sn1a2(Sn1Sn)，即an2a2an1.由a20，知an10，因此a2.an2 an1综上所述，a2对所有nN N* *成立，从而an是首项an1 an 为 1，公比为a2的等比数列. (2)当n1 或 2 时，显然Sn (a1an)，等号成立. n 2 设n3，a21 且a20.由(1)知，a11，ana，所n12以要证的不等式化为：1a2aa (1a)2 2n12n 2n12 (n3)，即证 1a2aa(1a)(n2)2 2n2n1 2n2 当a21 时，上面不等式的等号成立. 当
6、11 时，a1 与a1(r1,2，3，n1)同r2nr2 为正 因此当a21 且a21 时，总有(a1)(a1)0，r2nr2 即aa1 且a20 时，有Sn (a1an)，当且n 2 仅当n1,2 或a21 时等号成立. 1设 0x1x2， 由，得(x2x1)x2时，同理有|sin x2sin x1|x1x2|， 因此，h(x)x2x不是区间 R R 上的“平缓函数” (2)证明：证明：由(1)得：g(x)sin x是 R R 上的“平缓函数” ， 则|sin xn1sin xn|xn1xn|， 所以|yn1yn|xn1xn|.而|xn1xn|，1 2n12所以|yn1yn|.1 2n121 4n24n1 4(1 n1 n1) 因为|yn1y1|(yn1yn)(ynyn1)(yn1yn2) (y2y1)|， 所以|yn1y1|yn1yn|ynyn1|y2y1|. 所以|yn1y1| 1 4(1 n1 n1)(1 n11 n)(11 2) .1 4(11 n1)1 4
