《2015届高考数学（理）基础知识总复习名师讲义：第6章 第9节 数学归纳法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高考数学（理）基础知识总复习名师讲义：第6章 第9节 数学归纳法（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九节第九节 数学归纳法数学归纳法知识梳理数学归纳法：对于某些与正整数n有关的命题常常采用 下面的方法来证明它的正确性先证明当n取第一个值n0时命 题成立；然后假设当nk(kN N*，kn0)时命题成立，证明当 nk1 时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 用数学归纳法证明一个与正整数(或自然数)有关的命题的 步骤： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(例如n01，n02 等)时结论正确； (2)(归纳递推)假设当nk(kN N*，且kn0)时结论正确， 证明当nk1 时结论也正确 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正 确 用数学归纳法来证明与正整数有关的命题时
2、，要注意： 递 推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉基础自测 1(2013深圳月考)用数学归纳法证明“2nn21 对于 nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( ) A2 B3 C5 D6解析：解析：当n4 时，2nn21 不成立，n5 时，2nn21 成 立，所以取n05. 答案：答案：C2下列代数式中(其中kN N* *)，能被 9 整除的是( ) A667k B27k1 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.C3 (27k) D2(27k1)解析：解析：(1)当k1 时，显然只有 3(27k)能被 9 整除 (2)假设当kn(nN N* *
3、)命题成立，即 3(27n)能被 9 整除， 那么 3(27n1)21(27n)36，这就说明，当kn1 时命 题也成立故选 C. 答案：答案：C3(2013厦门质检)观察下列不等式：1 ，1 1,1 ，1 2,11 21 21 31 21 31 73 21 21 31 151 2 ，由此猜测第n个不等式为1 31 315 2 _(nN N* *)解析：解析：3221,7231,15241，可猜测：1 .1 21 31 2n1n 2答案：答案：1 1 21 31 2n1n 24在数列an中，a1 ，且Snn(2n1)an，通过计算1 3 a2，a3，a4，猜想an的表达式是_解析：解析：a1
4、，a2，a3，猜想an1 31 1 31 151 3 51 351 5 7.1 2n12n1答案：答案：an1 2n12n11已知f(x).1 2(x1 x) (1)若x1 时，证明：证明：f(x)ln x；(2)证明：证明：1 ln(n1)(n1)1 21 31 nn 2n1证明：证明：(1)设g(x)f(x)ln x ln x(x1)，则x 21 2xg(x) 0(x1)，所以1 2x21 x1 2x22x1 2x2x12 2x2 g(x)在1，)上单调递增，即当x1 时，g(x)g(1)0， 即f(x)ln x.(2)(法一)由(1)有f(x)ln x(x1)，且当1 2(x1 x)x1
5、 时，ln x.1 2(x1 x)令x，有 ln k1 kk1 k1 2k1 kk k11 2(11 k)，(11 k1)即 ln(k1)ln k，k1,2,3，n.1 2(1 k1 k1) 将上述n个不等式依次相加，得ln(n1) .1 21 21 31 n1 2n1整理得 1 ln(n1).1 21 31 nn 2n1 (法二)用数学归纳法证明(1)当n1 时，左边1，右边ln 2 1，不等式成1 4 立 (2)假设nk(k1，kN N*)时，不等式成立，即1 ln(k1).1 21 31 kk 2k1那么nk1 时，1 ln(k1)1 21 31 k1 k1ln(k1).k2k11k1k
6、22k1由(1)有f(x)ln x(x1)1 2(x1 x)令x，得lnk2 k11 2(k2 k1k1 k2)k2 k1 ln(k2)ln(k1)ln(k1)ln(k2).k2 2k1k1 2k21 ln(k2).1 21 31 k1 k1k1 2k2 这就是说，当nk1 时，不等式也成立 根据(1)，(2)，可知不等式对任何nN N*都成立2(2012大纲全国卷)函数f(x)x22x3.定义数列 xn如下：x12，xn1是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn)的直线 PQn与x轴交点的横坐标 (1)证明：证明：2xn0，即xn0，aax 1xa为常数)，数列an满足：a1 ，an1f(
7、an)，nN N* *.1 2 (1)当a1 时，求数列an的通项公式； (2)在(1)的条件下，证明对nN N* *有：a1a2a3a2a3a4anan1an2.nn5 12n2n3(1)解析：解析：当a1 时，an1f(an)，两边取倒数，an 1an得1，故数列是以2 为首项，1 为公差的等1 an11 an1 an1 a1差数列，所以n1，an，nN N*.1 an1 n1(2)证明：证明：(法一)由(1)知an，故对k1,2,3，1 n1akak1ak21 k1k2k3 1 21 k1k21 k2k3 所以a1a2a3a2a3a4anan1an2 Error!1 2 Error!.1
8、 21 2 31 n2n3nn5 12n2n3(法二)当n1 时，等式左边，1 2 3 41 24等式右边，左边右边，1 1512 1213124 等式成立； 假设当nk(k1)时等式成立，即a1a2a3a2a3a4akak1ak2，kk5 12k2k3 则当nk1 时， a1a2a3a2a3a4akak1ak2ak1ak2ak3kk5 12k2k31 k2k3k4kk5k412 12k2k3k4 k39k220k12 12k2k3k4k2k14k12k3 12k2k3k4k1k2k6 12k2k3k4.k1k15 12k12k13 这就是说当nk1 时，等式成立， 综知对于nN N* *有：a1a2a3a2a3a4anan1an2.nn5 12n2n3
