《2015届高考数学（理）基础知识总复习名师讲义：第10章 第9节 离散型随机变量的分布列、均值与方差》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高考数学（理）基础知识总复习名师讲义：第10章 第9节 离散型随机变量的分布列、均值与方差（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九节第九节 离散型随机变量的分布列、均值离散型随机变量的分布列、均值 与方差与方差知识梳理 一、随机变量一、随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的 变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母，或大写 拉丁字母X，Y，等表示 二、离散型随机变量二、离散型随机变量 对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这 样的随机变量叫做离散型随机变量 若是随机变量，ab，其中a，b是常数，则 也是随机变量 三、离散型随机变量的分布列三、离散型随机变量的分布列 设离散型随机变量可能取的值为 x1，x2，xi，xn.取每一个值xi(i1,2，n)的概 率P(xi)pi，则称表 x1x2x
2、ixn Pp1p2pipn为随机变量的概率分布，简称的分布列 四、离散型随机变量分布列的两个性质四、离散型随机变量分布列的两个性质(1)pi0(i1,2，n)；(2)i1.n i1p五、数学期望五、数学期望1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对 于刻画随机现象的重要性 2.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离 散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题一般地，若离散型随机变量的概率分布为 x1x2xn Pp1p2pn则称E()x1p1x2p2xnpn为的 _(或均值)，简称期望 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散 型随机变量
3、取值的平均水平 平均数、均值：在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令p1p2pn，则有p1p2pn ，E()1n(x1x2xn) ，所以的数学期望又称为平均数、均1 n 值答案：答案：数学期望六、方差六、方差 D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xnE()2pn，叫做离散型随机变量的 _ 方差是衡量数据波动大小的量，方差越大数据波动越大.答案：答案：方差七、标准差七、标准差 D()的算术平方根叫做随机变量的标准差，D（） 记作. 八、均值、方差的性质八、均值、方差的性质 E(ab)_；D(ab)_；D() E(2)(E)2.答案：答案：aE（）+b a2D（）基础自测 1袋中有大小相
4、同的 5 只钢球，分别标有 1,2,3,4,5 五个号码，任意抽取 2 个球，设 2 个球号码之和为X，则X的所有 可能取值个数为( ) A25 B10 C7 D6解析：解析：X的可能取值为 123,134，14235,15426,2534 7,358,459，共 7 种故选 C. 答案：答案：C2若P(x2)1，P(x1)1，其中 x1x2，则P(x1x2)等于( ) A(1)(1) B1() C1(1) D1(1)解析：解析：由分布列性质可有：P(x1x2)P(x2) P(x1)1(1)(1)11()故选 B. 答案：答案：B3(2013汕尾二模)已知某随机变量的概率分布列如 表，其中x0
5、，y0，则随机变量的数学期望E() _. xi123 P(xi)xyx解析：解析：由题意，xyx1，即 2xy1， 所以E()x2y3x4x2y2(2xy)2. 答案：答案：24.(2013郑州模拟)一盒中有 12 个大小、形状完全相同的 小球，其中 9 个红的，3 个黑的，从盒中任取 3 球，x表示取出 的红球个数，P(x1)的值为_解析：解析：由题意知，取出 3 球必是一红二黑，故P(x1).C1 9C2 3 C 3 1227 220答案：答案：27 2201(2013天津卷)一个盒子里装有 7 张卡片，其中有红色 卡片 4 张，编号分别为 1,2,3,4；白色卡片 3 张，编号分别为 2
6、,3,4.从盒子中任取 4 张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性 相同) (1)求取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率； (2)在取出的 4 张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X， 求随机变量X的分布列和数学期望解析：解析：(1)设“取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片”为事件A，则P(A) .C1 2C3 5C2 2C2 5 C4 76 7所以，取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率为 .6 7 (2)随机变量X的所有可能取值为 1,2,3,4.P(X1)，P(X2)，P(X3)C3 3 C4 71 35C3 4 C4 74 35 ，P(X4) .C3 5
7、C4 72 7C3 6 C4 74 7 所以随机变量X的分布列是 X1234P1 354 352 74 7 随机变量X的数学期望E(X)123 4 .1 354 352 74 717 52(2013新课标全国卷)经销商经销某种农产品，在一 个销售季度内，每售出 1t该产品获利润 500 元，未售出的产品， 每 1t亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量 的频率分布直方图，如右图所示经销商为下一个销售季度购进了 130t该农产品以X(单位：t,100 X 150)表示下 一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季 度内经销该农产品的利润 (1)将T表示为X的函数；
8、 (2)根据直方图估计利润T不少于 57 000 元的概率； (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该 组的各个需求量，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区 间中点值的概率(例如：若X100,110)，则取X105，且 X105 的概率等于需求量落入100,110)的概率，求T的数学 期望解析：解析：(1)当X 100,130)时，T 500X300(130X) 800X39 000， 当X 130,150时，T 50013065 000. 所以TError! (2)由(1)知T 57 000120X150， 由直方图知：120X150 的概率为 10(0.0300.0250.
9、015)0.7. 所以利润T不少于 57 000 元的概率为 0.7. (3)T可能的取值有T1 80010539 000 45 000, T280011539 00053 000，T380012539 00061 000, T465 000. T的分布列如下：T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4 所以E(T)45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400. 所以T的数学期望为 59 400.1某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四 个等级，1 件不同等级产品的利润(单位：元)如表 1，从这批产 品中随机抽
10、取出 1 件产品，该件产品为不同等级的概率如表 2. 表 1： 等级一等品二等品三等品次品 利润6541 表 2： 等级一等品二等品三等品次品 P0.6a0.1b 若从这批产品中随机抽取出的 1 件产品的平均利润(即数学 期望)为 4.9 元 (1)求a，b的值； (2)从这批产品中随机取出 3 件产品，求这 3 件产品的总利 润不低于 17 元的概率解析：解析：(1)设 1 件产品的利润为随机变量，依题意得 的分布列为 6541 P0.6a0.1b E()60.65a40.1b4.9，即 5ab0.9. 又0.6a0.1b1，即ab0.3， 解得a0.2，b0.1， a0.2，b0.1. (
11、2)为了使所取出的 3 件产品的总利润不低于 17 元，则这 3 件产品可以有两种取法：3 件都是一等品或 2 件一等品，1 件 二等品 故所求的概率P0.63C 0.620.20.432.2 32.(2013江门二模)市民李某居住在甲地，工作在乙地，他 的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示假 设工作日不走其他道路，只在图示的道路中往返，每次在路口 选择道路是随机的同一条道路去程与回程是否堵车相互独 立假设李某早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲 地赶去乙地上班假设道路A、B、D上下班时间往返出现拥堵的概率都是，道路C、E上下班时间往返出现拥堵的概率都是1 10，只要遇到拥
12、堵上学和上班的都会迟到1 5(1)求李某的小孩能够按时到校的概率； (2)李某是否有七成把握能够按时上班？ (3)设表示李某下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的 次数，求的均值解析：解析：(1)因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是和 .11015因此从甲到丙遇到拥堵的概率是 0.15，1 21 101 21 53 20 所以李某的小孩能够按时到校的概率是 10.150.85；(2)甲到丙没有遇到拥堵的概率是，17 20丙到甲没有遇到拥堵的概率也是，17 20甲到乙遇到拥堵的概率是 ，1 31 101 31 101 31 52 15甲到乙没有遇到拥堵的概率是 1，2 1513 15所以李某上班途中均没有遇到拥堵的概率是17 2017 2013 150.7，所以李某没有七成把握能够按时上班3 7576 000 (3)依题意可以取 0,1,2.P(0)，P(1)13 1517 20221 3002 1517 2013 153 20，P(2).73 3002 153 206 300 分布列是： 012P221 30073 3006 300所以E()012.221 30073 3006 30017 60
