《2015届高三数学北师大版（通用，理）总复习讲义 3.4 定积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高三数学北师大版（通用，理）总复习讲义 3.4 定积分（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.4 定积分定积分 1 定积分的定义 给定区间a，b上的函数 yf(x)： 将a，b分成 n 份，分点为 ax00.( ) b a (3)若 f(x)dx0，那么由 yf(x)，xa，xb 以及 x 轴所围成的图形一定在 x 轴下方 b a ( ) (4)若 f(x)是偶函数，则 f(x)dx2 f(x)dx.( aaa 0 ) (5)若 f(x)是奇函数，则 f(x)dx0.( ) aa (6)曲线 yx2与 yx 所围成的面积是 (x2x)dx.( ) 1 0 2 (2013湖北)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t) 73t(t 的单位：s，v 的单位：m/
2、s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离 25 1t (单位：m)是( ) A125ln 5 B825ln 11 3 C425ln 5 D450ln 2 答案 C 解析 令 v(t)0 得 t4 或 t (舍去)， 8 3 汽车行驶距离 s (73t)dt 4 0 25 1t (7t t225ln(1t)| 3 24 0 282425ln 5425ln 5. 3 设函数 f(x)xmax 的导函数 f(x)2x1，则 f(x)dx 的值等于( ) 2 1 A. B. C. D. 5 6 1 2 2 3 1 6 答案 A 解析 由于 f(x)xmax 的导函数为 f(x)2x1， 所以 f(x)
3、x2x， 于是 f(x)dx (x2x)dx| . 2 12 1 ( 1 3x3 1 2x2)2 1 5 6 4 (2013湖南)若 x2dx9，则常数 T 的值为_ T 0 答案 3 解析 x2dx x3| T39. T 0 1 3T 0 1 3 T327，T3. 5 由 ycos x 及 x 轴围成的介于 0 与 2 之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 _ 答案 2 2 3 2 3 2 2 0 dcosdcosdcosxxxxxx 解析 如图： 阴影部分的面积为 S. 2 2 3 2 3 2 2 0 dcosdcosdcosxxxxxx 题型一 定积分的计算 例 1 (1)设 f(x
4、)Error!Error!则 f(x)dx 等于( ) 2 0 A. B. C. D不存在 3 4 4 5 5 6 (2)若定积分 dx ，则 m 等于( ) m2 x22x 4 A1 B0 C1 D2 思维启迪 (1)利用定积分的性质和微积分基本定理计算； (2)利用定积分的几何意义计算 答案 (1)C (2)A 解析 (1)如图， f(x)dx x2dx (2x)dx 2 01 02 1 x3| | 1 31 0 (2x 1 2x2)2 1 . 1 3 (422 1 2) 5 6 (2)根据定积分的几何意义知，定积分 dx 的值就是函数 y的图 m2 x22xx22x 像与 x 轴及直线
5、x2，xm 所围成图形的面积，y是一个半径为 1 的半 x22x 圆，其面积等于 ，而 dx ，即在区间2，m上该函数图像应为 个圆， 2m2 x22x 4 1 4 于是得 m1，故选 A. 思维升华 (1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的 定积分，再利用微积分基本定理求解； (2)对函数图像和圆有关的定积分可以利用定积分的几何意义求解 (1)设 f(x)Error!Error!若 f(f(1)1，则 a_. (2)_. 2 2 dsinxx 答案 (1)1 (2)0 解析 (1)由题意知 f(1)lg 10， f(0)0a3031，a1. (2)由于函数 ysi
6、n x 在区间 ， 上是一个奇函数，图像关于原点成中心对称，在 x 2 2 轴 上方和下方面积相等，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于 0，即 0. 2 2 dsinxx 题型二 利用定积分求曲边梯形的面积 例 2 如图所示，求由抛物线 yx24x3 及其在点 A(0，3)和点 B(3,0)处的切线所围成的图形的面积 思维启迪 求出两切线交点 M 的坐标，将积分区间分为两段 ( 3 2，3) 、. 0， 3 2 3 2，3 解 由题意，知抛物线 yx24x3 在点 A 处的切线斜率是 k1y|x04，在点 B 处的切线斜率是 k2y|x32.因此，抛物线过点 A 的切线方程为 y4x3，
7、过点 B 的 切线方程为 y2x6. 设两切线相交于点 M，由Error!Error! 消去 y，得 x ，即点 M 的横坐标为 . 3 2 3 2 在区间上，曲线 y4x3 在曲线 yx24x3 的上方；在区间上，曲线 0， 3 2 3 2，3 y2x6 在曲线 yx24x3 的上方 因此，所求的图形的面积是 S(4x3)(x24x3)dx(2x6)(x24x3)dxx2dx 2 3 0 3 2 3 2 3 0 (x26x9)dx . 3 2 3 9 8 9 8 9 4 思维升华 对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图 形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定
8、被积区间 已知函数 yf(x)的图像是折线段 ABC，其中 A(0,0)、B( ，5)、C(1,0)函 1 2 数 yxf(x)(0x1)的图像与 x 轴围成的图形的面积为_ 答案 5 4 解析 由已知可得 f(x)Error!Error! 则 yxf(x)Error!Error! 画出函数图像，如图所示，所求面积 S(10x2)dx(10x210x)dx 2 1 0 1 2 1 Error!Error!Error!Error! 0 2 1 2 1 1 (5)( 5 ) . 5 12 10 3 10 3 1 8 1 4 5 4 题型三 定积分在物理中的应用 例 3 一物体做变速直线运动，其 v
9、t 曲线如图所示，则该物体 在 s6 s 间的运动路程为_ 1 2 思维启迪 从题图上可以看出物体在 0t1 时做加速运动， 1t3 时做匀速运动，3t6 时也做加速运动，但加速度不 同，也就是说 0t6 时，v(t)为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形 的 面积 答案 m 49 4 解析 由题图可知，v(t)Error!Error!， 因此该物体在 s6 s 间运动的路程为 1 2 sv(t)dt2tdt 2dtdt 6 2 1 1 2 1 3 16 3( 1 3t1) t2|2t| | (m) 2 1 1 3 1 ( 1 6t2t)6 3 49 4 思维升华 定积分在物理方面的
10、应用主要包括：求变速直线运动的路程；求变力所 做的功 设变力 F(x)作用在质点 M 上，使 M 沿 x 轴正向从 x1 运动到 x10，已 知 F(x)x21 且和 x 轴正向相同，求变力 F(x)对质点 M 所做的功 解 变力 F(x)x21 使质点 M 沿 x 轴正向从 x1 运动到 x10 所做的功为 WF(x) 10 1 dx (x21)dx( x3x)|342， 10 1 1 310 1 即变力 F(x)对质点 M 所做的功为 342. 函数思想、数形结合思想在定积分中的应用 典例：(12 分)在区间0,1上给定曲线 yx2.试在此区间内确定点 t 的值， 使图中的阴影部分的面积
11、S1与 S2之和最小，并求最小值 思维启迪 (1)题目要求是求 S1与 S2之和最小，所以要先构造 SS1S2 的函数，利用函数思想求解(2)S1、S2的面积只能通过定积分求 解，所以要选准积分变量 规范解答 解 S1面积等于边长为 t 与 t2的矩形面积去掉曲线 yx2与 x 轴、直线 xt 所围成的面 积， 即 S1tt2 x2dx t3.2 t 0 2 3 分 S2的面积等于曲线 yx2与 x 轴，xt，x1 围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别 为 t2,1t， 即 S2 x2dxt2(1t) t3t2 .4 分 1 t 2 3 1 3 所以阴影部分的面积 SS1S2 t3t2 (0t
12、1)6 分 4 3 1 3 令 S(t)4t22t4t0，得 t0 或 t .8 分 (t 1 2) 1 2 t0 时，S ；t 时，S ；t1 时，S .10 1 3 1 2 1 4 2 3 分 所以当 t 时，S 最小，且最小值为 .12 分 1 2 1 4 温馨提醒 (1)本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而 是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用 导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查知识的迁移能力和导数的 应用意识 (2)本题易错点：一是缺乏函数的意识；二是不能正确选择被积区间 方法与技巧 1 求定积
13、分的方法 (1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强 (2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x)；计 算 F(b)F(a) (3)利用定积分的几何意义求定积分 2 求曲边多边形面积的步骤： (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形 (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限 (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和 (4)计算定积分 失误与防范 1 被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分 2 若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量 3 定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限 4
14、 定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为 负 5 将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷 A 组 专项基础训练 (时间：40 分钟) 一、选择题 1(sin xacos x)dx2，则实数 a 等于( ) 2 0 A1 B1 C D. 33 答案 A 解析 2 0 0 2 | )sincos(d)cos(sinxaxxxax a12，a1. 2 由直线 x ，x ，y0 与曲线 ycos x 所围成的封闭图形的面积为( ) 3 3 A. B1 C. D. 1 2 3 23 答案 D 解析 sin sin. 3 3 3 3 |sindcosxxx 3 ( 3)3 3 (2013江西)若 S1 x2dx，S2dx，S3 exdx，则 S1，S2，S3的大小关系为( ) 2 12 1 1 x2 1 AS1S2S3 BS2S1S3 CS2S3S1 DS3S2S1 答案 B 解析 利用定积分的几何意义知 B 正确 4 图中阴影部分的面积是( ) A16 B18 C20 D22 答案 B 解析
