《2015届高三数学北师大版（通用，理）总复习讲义 6.1 数列的概念及简单表示法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高三数学北师大版（通用，理）总复习讲义 6.1 数列的概念及简单表示法（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.1 数列的概念及简单表示法数列的概念及简单表示法 1 数列的定义 按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项 2 数列的分类 分类原则类型满足条件 有穷数列项数有限 按项数分类 无穷数列项数无限 递增数列an1_an 递减数列an1_1 时，anSnSn1anan1. n2 3 n1 3 . an an1 n1 n1 ， ， an an1 n1 n1 a4 a3 5 3 ，3. a3 a2 4 2 a2 a1 以上 n1 个式子的等号两端分别相乘，得到， an a1 nn1 2 又a11，an. nn1 2 思维升华 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累
2、乘、构造法求解 当出现 anan1m 时，构造等差数列；当出现 anxan1y 时，构造等比数列；当出 现 anan1f(n)时，用累加法求解；当出现f(n)时，用累乘法求解 an an1 (1)已知数列an满足 a11，anan1(n2)，则 an_. n1 n (2)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2an1(nN)，则 a5等于( ) A16 B16 C31 D32 答案 (1) (2)B 1 n 解析 (1)anan1 (n2)， n1 n an1an2，a2 a1. n2 n1 1 2 以上(n1)个式子相乘得 ana1 . 1 2 2 3 n1 n a1 n 1 n (2
3、)当 n1 时，S12a11，a11. 当 n2 时，Sn12an11， an2an2an1， an2an1. an是等比数列且 a11，q2， 故 a5a1q42416. 数列问题中的函数思想 典例：(12 分)已知数列an (1)若 ann25n4， 数列中有多少项是负数？ n 为何值时，an有最小值？并求出最小值 (2)若 ann2kn4 且对于 nN，都有 an1an.求实数 k 的取值范围 思维启迪 (1)求使 anan知该数列是一个递增数列，又因为通项公式 ann2kn4，可以看作是 关于 n 的二次函数，考虑到 nN，所以 3.12 k 2 3 2 分 温馨提醒 (1)本题给出的
4、数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集 N上的二次函数， 因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数 k 的取值范围，使问题得到 解决 (2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取 (3)易错分析：本题易错答案为 k2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量 是正整数 方法与技巧 1 求数列通项或指定项通常用观察法(对于交错数列一般用(1)n或(1)n1来区分奇偶 项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归 纳、猜想和转化的方法 2 强调 an与 Sn的关系：anError!Error!. 3 已知递推关系求通项：对
5、这类问题的要求不高，但试题难度较难把握一般有两种常见 思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式 失误与防范 1 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数 列 anf(n)和函数 yf(x)的单调性是不同的 2 数列的通项公式不一定唯一 A 组 专项基础训练 (时间：40 分钟) 一、选择题 1 数列 0,1,0，1,0,1,0，1，的一个通项公式是 an等于( ) A. Bcos 1n1 2 n 2 Ccos Dcos n1 2 n2 2 答案 D 解析 令 n1,2,3，逐一验证四个选项，易得 D 正确 2数列an
6、的前 n 项和为 Sn，若 a11，an13Sn(n1)，则 a6等于( ) A344 B3441 C45 D451 答案 A 解析 当 n1 时，an13Sn，则 an23Sn1， an2an13Sn13Sn3an1，即 an24an1， 该数列从第二项开始是以 4 为公比的等比数列 又 a23S13a13，anError!Error! 当 n6 时，a63462344. 3 若数列an的通项公式是 an(1)n(3n2)，则 a1a2a10等于( ) A15 B12 C12 D15 答案 A 解析 由题意知，a1a2a10 14710(1)10(3102) (14)(710)(1)9(39
7、2)(1)10(3102) 3515. 4已知数列an的通项公式为 an( )n1( )n1，则数列an( ) 4 9 2 3 A有最大项，没有最小项 B有最小项，没有最大项 C既有最大项又有最小项 D既没有最大项也没有最小项 答案 C 解析 数列an的通项公式为 an( )n1( )n1， 4 9 2 3 令 t( )n1，t(0,1，t 是减函数， 2 3 则 ant2t(t )2 ， 1 2 1 4 由复合函数单调性知 an先递增后递减 故有最大项和最小项，选 C. 5若 Sn为数列an的前 n 项和，且 Sn，则等于( ) n n1 1 a5 A. B. C. D30 5 6 6 5
8、1 30 答案 D 解析 当 n2 时，anSnSn1， n n1 n1 n 1 nn1 所以5630. 1 a5 二、填空题 6已知数列，则 0.98 是它的第_项 n2 n21 答案 7 解析 0.98，n7. n2 n21 49 50 7 数列an中，a11，对于所有的 n2，nN，都有 a1a2a3ann2，则 a3a5_. 答案 61 16 解析 由题意知：a1a2a3an1(n1)2， an()2(n2)， n n1 a3a5( )2( )2. 3 2 5 4 61 16 8已知an是递增数列，且对于任意的 nN，ann2n 恒成立，则实数 的取值范围 是_ 答案 (3，) 解析
9、方法一 (定义法) 因为an是递增数列，所以对任意的 nN，都有 an1an， 即(n1)2(n1)n2n，整理，得 2n10，即 (2n1)(*) 因为 n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需 3. 方法二 (函数法) 设 f(n)ann2n，其图像的对称轴为直线 n ， 2 要使数列an为递增数列，只需使定义在正整数上的函数 f(n)为增函数， 故只需满足 f(1)3. 三、解答题 9数列an的通项公式是 ann27n6. (1)这个数列的第 4 项是多少？ (2)150 是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当
10、 n4 时，a4424766. (2)令 an150，即 n27n6150， 解得 n16 或 n9(舍去)， 即 150 是这个数列的第 16 项 (3)令 ann27n60，解得 n6 或 n0，即 an1an； 当 n8 时，an1an0，即 an1an； 当 n8 时，an1ana10a11， 故数列an有最大项，为第 8 项和第 9 项， 且 a8a9. 98 9 108 99 108 B 组 专项能力提升 (时间：30 分钟) 1跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第 1 个格子，在格子中每次可向前跳 1 格或 2 格， 那么人从格子外跳到第 8 个格子的方法种数为( ) A8 种
11、B13 种 C21 种 D34 种 答案 C 解析 设跳到第 n 个格子的方法种数有 an，则到达第 n 个格子的方法有两类： 向前跳 1 格到达第 n 个格子，方法种数为 an1； 向前跳 2 格到达第 n 个格子，方法种数为 an2，则 anan1an2， 由数列的递推关系得到数列的前 8 项分别是 1,1,2,3,5,8,13,21. 跳到第 8 个格子的方法种数是 21.故选 C. 2数列an满足 anan1 (nN)，a22，Sn是数列an的前 n 项和，则 S21为( ) 1 2 A5 B. C. D. 7 2 9 2 13 2 答案 B 解析 anan1 (nN)， 1 2 a1
12、 a2 2，a22，a3 2，a42， 1 2 1 2 1 2 故 a2n2，a2n1 2. 1 2 S2110 a15 2 . 1 2 1 2 7 2 3 若数列n(n4)( )n中的最大项是第 k 项，则 k_. 2 3 答案 4 解析 由题意得Error!Error!， 所以Error!Error!，由 kN可得 k4. 4 已知数列an满足前 n 项和 Snn21，数列bn满足 bn，且前 n 项和为 Tn，设 2 an1 cnT2n1Tn. (1)求数列bn的通项公式； (2)判断数列cn的增减性 解 (1)a12，anSnSn12n1(n2) bnError!Error!. (2)cnbn1bn2b2n1 ， 1 n1 1 n2 1 2n1 cn1cn 1 2n2 1 2n3 1 n1 a1. 综上，所求的 a 的取值范围是9，)
