《2015届高三数学北师大版（通用，理）总复习讲义 8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高三数学北师大版（通用，理）总复习讲义 8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积1空间几何体的结构特征多面体(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.旋转体(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转得到. (3)圆台可以由直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.2空间几何体的直观图(1)在已知图形中建立直角
2、坐标系 xOy.画直观图时，它们分别对应 x轴和 y轴，两轴交于点 O，使xOy45，它们确定的平面表示水平平面；(2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x轴和 y轴的线段；(3)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的 .123空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括主视图、左视图、俯视图4柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧
3、S底V Sh13台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V (S上S下)h13S上S下球S4R2V R3431判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥( )(3)用斜二测画法画水平放置的A 时，若A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且A90，则在直观图中，A45.( )(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同( )(5)圆柱的侧面展开图是矩形( )(6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算( )2(2013四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直
4、观图可以是( )答案 D解析 由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选 D.3(2013课标全国)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A. cm3B. cm350038663C. cm3D. cm31 37232 0483答案 A解析 作出该球轴截面的图像如图所示，依题意BE2，AECE4，设 DEx，故 AD2x，因为 AD2AE2DE2，解得 x3，故该球的半径 AD5，所以 V R3.4350034一个三角形在其直观图中对应一个边长为 1 的
5、正三角形，原三角形的面积为_答案 62解析 由斜二测画法，知直观图是边长为 1 的正三角形，其原图是一个底为 1，高为的三角形，所以原三角形的面积为.6625若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2 的半圆面，则该圆锥的体积为_答案 33解析 侧面展开图扇形的半径为 2，圆锥底面半径为 1，h，V 1.221313333题型一 空间几何体的结构特征例 1 (1)下列说法正确的是( )A有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D棱台的各侧棱延长后不一定交于一点(2)给出下列命题：在圆柱的上、下底面的
6、圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是( )A0 B1 C2 D3思维启迪 从多面体、旋转体的定义入手，可以借助实例或几何模型理解几何体的结构特征答案 (1)B (2)A解析 (1)A 错，如图 1；B 正确，如图 2，其中底面 ABCD 是矩形，可证明PAB，PCB 都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C 错，如图 3；D 错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点(2)不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线
7、；不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形” ，如图 1 所示；不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图 2 所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等思维升华 (1)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱(2)既然棱台是由棱锥定义的，所以在解决棱台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略(3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转得到，还要看旋转轴是哪条直线如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C
8、是展开图上的三点，则在正方体盒子中，ABC 的值为( )A30 B45C60 D90答案 C解析 还原正方体，如图所示，连接 AB，BC，AC，可得ABC 是正三角形，则ABC60.题型二 空间几何体的三视图和直观图例 2 (1)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 ，则该几何12体的俯视图可以是( )(2)正三角形 AOB 的边长为 a，建立如图所示的直角坐标系 xOy，则它的直观图的面积是_思维启迪 (1)由主视图和左视图可知该几何体的高是 1，由体积是12可求出底面积由底面积的大小可判断其俯视图是哪一个(2)按照直观图画法规则确定平面图形和其直观图面积的关系答
9、案 (1)C (2)a2616解析 (1)由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体，且其高为 1，由其体积是可知该几何体的底面积是 ，由图知 A 的面积是 1，B 的面积是 ，C 的面积是 ，D 的1212412面积是 ，故选 C.4(2)画出坐标系 xOy，作出OAB 的直观图 OAB(如图)D为 OA的中点易知 DB DB，12SOAB SOABa2a2.12222434616思维升华 (1)三视图中，主视图和左视图一样高，主视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽即“长对正，宽相等，高平齐” (2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直
10、直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系(1)(2013湖南)已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的主视图的面积不可能等于( )A1 B. C. D.2212212(2)如图，矩形 OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 OA6 cm，OC2 cm，则原图形是( )A正方形B矩形C菱形D一般的平行四边形答案 (1)C (2)C解析 (1)由俯视图知正方体的底面水平放置，其主视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为 1，最大为，面积范围应为1，不可能等于.22212(2)如图，在原图形 OABC 中，应有
11、 OD2OD2224 cm，2CDCD2 cm.OCOD2CD26 cm，4 2222OAOC，故四边形 OABC 是菱形题型三 空间几何体的表面积与体积例 3 (1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A48 B32817C488 D8017(2)已知某几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为( )A. B.23124316C. D.26162312思维启迪：先由三视图确定几何体的构成及度量，然后求表面积或体积答案 (1)C (2)C解析 (1)由三视图知该几何体的直观图如图所示，该
12、几何体的下底面是边长为 4 的正方形；上底面是长为 4、宽为 2 的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为 2，下底长为 4，高为 4；另两个侧面是矩形，宽为 4，长为.421217所以 S表4224 (24)4242488.121717(2)由三视图确定该几何体是一个半球体与三棱锥构成的组合体，如图，其中 AP，AB，AC 两两垂直，且 APABAC1，故 AP平面 ABC，SABC ABAC ，1212所以三棱锥 PABC 的体积 V1 SABCAP 1 ，13131216又 RtABC 是半球底面的内接三角形，所以球的直径 2RBC，2解得 R，22所以半球的体积 V2 ()3，1243
13、2226故所求几何体的体积 VV1V2 .1626思维升华 解决此类问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积(2012课标全国)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC2，则此棱锥的体积为( )A. B.2636C. D.2322答案 A解析 由于三棱锥 SABC 与三棱锥 OABC 底面都是ABC，O 是 SC 的中点，因此三棱锥 SABC 的高是三棱锥 OABC 高的
14、 2 倍，所以三棱锥 SABC 的体积也是三棱锥 OABC 体积的 2 倍在三棱锥 OABC 中，其棱长都是 1，如图所示，SABCAB2，3434高 OD ，12(33)263VSABC2VOABC2 .13346326转化思想在立体几何计算中的应用典例：(12 分)如图，在直棱柱 ABCABC中，底面是边长为 3 的等边三角形，AA4，M 为 AA的中点，P 是 BC 上一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC到 M 的最短路线长为，设这条最短路线与29CC的交点为 N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC 与 NC 的长；(3)三棱锥 CMNP 的体积思维启迪 (1)侧面展
15、开图从哪里剪开展平；(2)MNNP 最短在展开图上呈现怎样的形式；(3)三棱锥以谁做底好规范解答解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为 4 和 9 的矩形，故对角线长为4292.2 分97(2)将该三棱柱的侧面沿棱 BB展开，如下图，设 PCx，则 MP2MA2(ACx)2.MP，MA2，AC3，29x2，即 PC2.又 NCAM，故，即 .PCPANCAM25NC2NC .8 分45(3)SPCN CPCN 2 .12124545在三棱锥 MPCN 中，M 到面 PCN 的距离，即 h3.323 32VCMNPVMPCN hSPCN13 .12 分133 32452 35温馨提醒 (1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开” ，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题(2)如果已知的空
