《2015届福建（理）高考数学一轮复习学案及答案：定积分及其简单的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届福建（理）高考数学一轮复习学案及答案：定积分及其简单的应用（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学案学案 16 定积分及其简单的应用定积分及其简单的应用 导学目标： 1.以求曲边梯形的面积和汽车变速行驶的路程为背景准确理解定积分的概念. 2.理解定积分的简单性质并会简单应用.3.会说出定积分的几何意义，能根据几何意义解释定 积分.4.会用求导公式和导数运算法则，反方向求使 F(x)f(x)的 F(x)，并运用牛顿莱布尼 茨公式求 f(x)的定积分.5.会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积.6.能熟 练运用定积分求变速直线运动的路程.7.会用定积分求变力所做的功自主梳理 1定积分的几何意义：如果在区间a，b上函数 f(x)连续且恒有 f(x)0，那么函数 f(x) 在区间a
2、，b上的定积分的几何意义是直线_所围成的曲边梯形的 _ 2定积分的性质 (1) kf(x)dx_ (k 为常数)；b a(2) f1(x)f2(x)dx_；b a(3) f(x)dx_.b a 3微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是区间a，b上的连续函数，并且 F(x)f(x)，那么 f(x)dxF(b)b aF(a)，这个结论叫做_，为了方便，我们常把 F(b)F(a)记成 _，即 f(x)dxF(x)| F(b)F(a)b ab a4定积分在几何中的应用 (1)当 xa，b且 f(x)0 时，由直线 xa，xb (ab)，y0 和曲线 yf(x)围成的曲边 梯形的面积 S_. (2)当
3、 xa，b且 f(x)g(x)0 时，由直线 xa，xb (ab)和曲线 yf(x)，yg(x)围成 的平面图形的面积 S_. (4)若 f(x)是偶函数，则 f(x)dx2 f(x)dx；若 f(x)是奇函数，则 f(x)dx0.aaa 0aa5定积分在物理中的应用 (1)匀变速运动的路程公式 做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 vv(t)v(t)0在时间区间a，b上 的定积分，即_ (2)变力做功公式 一物体在变力 F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与 F 相同的方向从 xa 移动到 xb (a0 时，S (x2k22kx)dxk 0 (xk)2dx (
4、xk)3| 0 (k)3，k 013k 013k33由题意知9，k3.k33由图象的对称性可知 k3 也满足题意，故 k3.课堂活动区 例 1 解题导引 (1)与绝对值有关的函数均可化为分段函数分段函数在区间a，b上的积分可分成几段积分的和的形式分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细(2)f(x)是偶函数，且在关于原点对称的区间a，a上连续，则 f(x)dx2 f(x)dx.aaa 0解 (1)dxe 1(x1x1x2) xdxdxdxe 1e 11xe 11x2 x2| ln x| |12e 1e 11x e 1 (e21)(ln eln 1)12(
5、1e11) e2 .121e32(2)0(sin x2cos x)dx20sin xdx2 0cos xdx22(cos x)|02sin x|022cos (cos 0)22(sin 2sin 0)1.(3) (2sin x3ex2)dx 02 sin xdx3 exdx 2dx 0 0 02(cos x)| 3ex| 2x| 0 0 02(cos )(cos 0)3(ee0)2(0)73e2.(4)0x2，于是|x21|Error! |x21|dx (1x2)dx (x21)dx2 01 02 1| | 2.(x13x3)1 0(13x3x)2 1变式迁移 1 解 (1)(cos x)si
6、n x，|sin x|dx |sin x|dx|sin x|dx2 0 02 sin xdxsin xdx 02 cos x| cos x| 02 (cos cos 0)(cos 2cos )4.(2) sin2xdxdx 0 0(1212cos 2x)dx cos 2xdx 01212 0 x| |12 012(12sin 2x) 0(20)12(12sin 212sin 0) .2例 2 解题导引 求曲线围成的面积的一般步骤为：(1)作出曲线的图象，确定所要求的面积；(2)联立方程解出交点坐标；(3)用定积分表示所求的面积；(4)求出定积分的值解 作出函数 y x2和 y3(x1)2的图象
7、(如图所示)，则所求平面图形的面积 S 为图12中阴影部分的面积解方程组Error!得Error!或Error!所以两曲线交点为 A，B(2,2)(23，29)所以 S2 3(x1)2dx2x2dx2323122 (x22x2)dx2x2dx232312Error!2 Error!22323 (8344) (8814943)16(8827)4.2027 变式迁移 2 解 如图，设 f(x)x3，g(x)x22x3，两函数图象的交点为 A，B，由Error!得Error!或Error!曲线 yx22x3 与直线 yx3 所围图形的面积S f(x)g(x)dx3 0 (x3)(x22x3)dx3
8、0 (x23x)dx3 0| .(13x332x2)3 092故曲线与直线所围图形的面积为 .92例 3 解题导引 用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案s(t)求导后得到速度，对速度积分则得到路程解 方法一 由速度时间曲线易知v(t)Error!由变速直线运动的路程公式可得s3tdt30dt(1.5t90)dt10 040106040 t2|30t|1 350 (m)3210 04010(34t290t)6040答 此汽车在这 1 min 内所行驶的
9、路程是 1 350 m. 方法二 由定积分的物理意义知，汽车 1 min 内所行驶的路程就是速度函数在0,60上的积分，也就是其速度曲线与 x 轴围成梯形的面积，s (ABOC)30 (3060)301 350 (m)1212答 此汽车在这 1 min 内所行驶的路程是 1 350 m. 变式迁移 3 解 (1)设 v(t)1.2t，令 v(t)24，t20.A、C 间距离|AC|1.2tdt20 0(0.6t2)|0.6202240 (m)20 0(2)由 D 到 B 时段的速度公式为v(t)(241.2t) m/s，可知|BD|AC|240 (m)(3)|AC|BD|240 (m)，|CD
10、|7 20024026 720 (m)C、D 段用时280 (s)6 72024又 A、C 段与 B、D 段用时均为 20 s，共用时 2802020320 (s)课后练习区 1D 2.B 3.D 4.D 5.B 60.36 解析 设力 F 与弹簧伸长的长度 x 的关系式为 Fkx，则 1k0.02，k50，F50x，伸长 12 cm 时克服弹力做的功W50xdxx2|0.1220.36(J)0.1205020.12050271解析 (2xk1)dxError!1 01 012，k1.2k1 818 解析 f(x)2x2f(2)，f(2)42f(2)，即 f(2)4，f(x)x28x3， f(
11、x)dx 334323318.3 0139解 (1)函数 y2x2 的一个原函数是 y x3ln x，1x23所以 dxError!2 1(2x21x)2 1ln 2 ln 2.(3 分)16323143(2)2dxdx3 2(x1x)3 2(x1x2)Error!3 2(2ln 24)(92ln 36)ln .(6 分)3292(3)函数 ysin xsin 2x 的一个原函数为ycos x cos 2x，所以 0(sin xsin 2x)dx123Error!03 .(9 分)(1214) (112)14322(4)32323223112 32 (32 )(23)23 12x dxx dx
12、x dxx dxxdx(3xx2)|1(x23x)|2 .(12 分)32321210解 (1)设 f(x)ax2bxc (a0)，则 f(x)2axb.又 f(x)2x2，所以 a1，b2，即 f(x)x22xc.(4 分)又方程 f(x)0 有两个相等实根，所以 44c0，即 c1.故 f(x)x22x1.(8 分)(2)依题意，所求面积 S (x22x1)dx1 0| .(12 分)(13x3x2x)1 01311解 画出直线 xln 2，ye1 及曲线 yex1 如图所示，则所求面积为图中阴影部分的面积由Error!解得 B(1，e1)由Error!解得 A.(4 分)(ln 2，12)此时，C(ln 2，e1)，D(ln 2,0)所以 SS曲边梯形 BCDOS曲边三角形 OAD(e1)dx (ex1)dx(71ln 21 0|0ln 2ex1dx|分)(e1)x|(exx)| |(exx)| (101ln 21 00ln 2分)(e1)(1ln 2)(e1e0)|e0(eln 2ln 2)|(e1)(1ln 2)(e2)ln 212eln 2 .(14 分)1 2
