《概率论与数理统计第二章 随机变量及其分布(第1 -- 5节)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计第二章 随机变量及其分布(第1 -- 5节)（111页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 随机变量及其分布,第一节 随机变量,为了全面地研究随机试验的结果，揭示随机 现象的统计规律性，我们将随机试验的结果与实 数对应起来，将随机试验的结果数量化，从而引 入随机变量的概念。,在随机试验完成时，人们常常不是关心试验 结果本身，而是对于试验结果联系着的某个数感 兴趣。,一、随机变量概念的产生,在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.,1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.,例如，掷一颗骰子面上出现的点数；,四月份哈尔滨的最高温度；,每天进入一号楼的人数；,昆虫的产卵数；,2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量
2、来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.,正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.,这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数.,e.,X(e),R,这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样！,（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.,（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.,称这种定义在样本空间S上的实值单值函数X= X(e)为,随,量,机,变,简记为 r.v.,随机变量通常用大写字母 X,Y,Z,W,N 等表示,
3、有了随机变量, 随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.,引入随机变量的意义,如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.,事件收到不少于1次呼叫,没有收到呼叫, X 1,X= 0,随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.,事件及 事件概率,随机变量及其 取值规律,我们将研究两类随机变量：,如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.,随机变量的分
4、类,这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.,学习时请注意它们各自的特点和描述方法.,例如，,连续掷一颗骰子两次，观察两次出现的点数 之和。其样本空间为S=(i, j), i, j =1,2,3,4,5,6.,我们关心的并不是第一次、第二次出现的点 数，而是两次出现的点数之和是多少。,如果以 X 表示两次出现的点数之和，则对于每个 样本点e = (i, j) , X都有一个值与之对应, X= i+ j， 其可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.,X取不同的值，代表着不同的随机事件。 (X是离散型),再如，在一
5、批灯泡中任取一只，测试其寿命。,其样本空间为,如果用X表示灯泡的 寿命值, 则每一个灯泡的测试结果即每一个样本 点都对应着 X 的一个值，且X取不同值对应着不 同的事件。如,X=1000（小时）表示“灯泡的寿命为1000小 时”， （小时）表示“灯泡的寿命为小于 或等于1500小时”。（X是连续型）,在上述两例中，试验的结果本身就是数量性 质的随机现象，可直接用某一变量来表示。但还 有一些试验的结果不能直接用数量表示。,例如考察一台机器在一年内是否发生故障这一随 机现象，可能的结果共有两个，“完好”或“故障”。 它们并不表示为数量；又如掷硬币的试验也一样。,对这些试验的结果，我们可以把它们数量
6、化， 如引入一个只取两个值 (1或0) 的变量X，用“X=1” 表示机器完好这一随机事件，用“X=0”表示机器发 生故障这一随机事件。（X是离散型的）,解：分析,再如 一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.,当 0.15 Xm 0.05,也即,于是得 m+1=10,m=9件,或,例3 （15题）利用泊松逼近二项分布,练习题,第三节 随机变量的分布函数,对于非离散型随机变量X，由于其取值不能 一个一个地列举出来，因而就不能像离散型随机 变量那样可以用
7、分布律来刻画它。另外，我们通 常所遇到的非离散型随机变量取任一指定的实数 值的概率都等于0（这一点在下一节将会讲到）。 再着，在实际问题的讨论中，对有些随机变量， 例如误差 ，元件的寿命T等，我们并不会对误 差 ，寿命T=1251.3(h)的概率感兴趣， 而是考虑误差落在某个区间的概率，寿命大于某 个值的概率，因而我们现在考虑随机变量所取的 值落在一个区间的概率：,为此，现引入随机变量的分布函数的概念。,定义：,设X是一个随机变量，,x是任意实数，函数,称为X的分布函数。,分布函数具有以下几个性质：,(1) F(x) 是x的不减函数，,(4) F(x) 至多有可列个间断点，且在其间断点处是右连续的。,对离散型随机变量X，若其分布律为,则其分布函数为,(1) 在分布函数的定义中, X是随机变量, x是参变量.,
