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1、第第 4 讲讲 函数与方程函数与方程知识梳理 一、函数的零点方程0)(xf的实数根又叫做函数)(Dxxfy的零点。方程( )0f x 有实根函数( )yf x的图像与 x 轴有交点函数( )yf x有零点；如果函数( )yf x在区间( , )a b上的图像是连续不断的，且有( )( )0f af b，则函数( )yf x在区间( , )a b上有零点。二、二分法1如果函数( )yf x在区间,nm上的图像是连续不断的一条曲线，且0)()(nfmf，通过不断地把函数( )yf x的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。2给定精度，用二分法求函数
2、)(xfy 的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间,nm，验证0)()(nfmf，给定精度；（2）求区间,nm的中点1x；（3）计算)(1xf：若0)(1xf，则1x就是函数)(xfy 的零点；若0)()(1xfmf，则令1xn （此时零点),(10xmx ） ；若0)()(1nfxf，则令1xm （此时零点),(10nxx ）（4）判断是否达到精度；即若 nm，则得到零点值m（或n） ；否则重复步骤（2）-（4）重、难点突破重点：函数零点的概念，掌握用二分法求函数)(xfy 零点的近似值难点：用二分法求函数)(xfy 的零点近似值重难点：1函数零点的理解函数( )yf x的零点、方程0)(x
3、f的根、函数( )yf x的图像与 x 轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程0)(xf根的个数就是函数( )yf x的零点的个数，亦即函数( )yf x的图像与 x 轴交点的个数变号零点与不变号零点若函数)(xf在零点0x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数)(xf的变号零点若函数)(xf在零点0x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数)(xf的不变号零点若函数)(xf在区间ba，上的图象是一条连续的曲线，则0)()(bfaf是)(xf在区间)(ba，内有零点的充分不必要条件。用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题 （1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根（
4、2）求曲线)(xfy 和)(xgy 的交点的横坐标，实际上就是求函数)()(xgxfy的零点，即求方程0)()(xgxf的根3关于用二分法求函数)(xfy 的零点近似值的步骤须注意的问题：（1）第一步中要使：区间长度尽量小；)()(bfaf、的值比较容易计算且0)()(bfaf；（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程根是等价的。对于求方程)()(xgxf的根，可以构造函数)()()(xgxfxF，函数)(xF的零点即方程)()(xgxf的根。热点考点题型探析 考点 1 零点的求法及零点的个数 题型 1：求函数的零点.例 1 求函数2223xxxy的零点.解题思路求函数
5、2223xxxy的零点就是求方程02223xxx的根解析令 32220xxx，2(2)(2)0xxx(2)(1)(1)0xxx，112xxx 或或即函数2223xxxy的零点为-1，1，2。名师指引 函数的零点不是点，而是函数函数( )yf x的图像与 x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。 题型 2：确定函数零点的个数. 例 2 求函数 f(x)=lnx2x 6 的零点个数.解题思路求函数 f(x)=lnx2x 6 的零点个数就是求方程 lnx2x 6=0 的解的个数解析方法一：易证 f(x)= lnx2x 6 在定义域(0,)上连续单调递增，又有(1)(4)0ff，所以函数 f(x)= l
6、nx2x 6 只有一个零点。方法二：求函数 f(x)=lnx2x 6 的零点个数即是求方程 lnx2x 6=0 的解的个数即求ln62yxyx 的交点的个数。画图可知只有一个。名师指引求函数)(xfy 的零点是高考的热点，有两种常用方法：（代数法）求方程0)(xf的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy 的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点 题型 3：由函数的零点特征确定参数的取值范围例 3 (2010广东)已知 a 是实数,函数 axaxxf3222 ,如果函数 xfy 在区间1 , 1上有零点，求 a 的取值范围。解题思路要求参数 a 的取值范围，就要从函
7、数 xfy 在区间1 , 1上有零点寻找关于参数 a 的不等式（组） ，但由于涉及到 a 作为2x的系数，故要对 a 进行讨论解析 若0a , ( )23f xx,显然在1 , 1上没有零点, 所以 0a .令 248382440aaaa , 解得 37 2a 当 37 2a 时, yf x恰有一个零点在1,1上;当 05111aaff，即15a时， yf x在1,1上也恰有一个零点.当 yf x在1,1上有两个零点时, 则 20824401112 1010aaaa ff 或 20824401112 1010aaaa ff 解得5a 或35 2a 综上所求实数a的取值范围是 1a 或 35 2
8、a .名师指引二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热点， 要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键. 二次函数 f（x）=ax2+bx+c 的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数 问题的重要依据.新题导练1 （11 年浙江五校联考）函数 221f xmxx有且仅有一个正实数的零点，则实数 m的取值范围是（ ）A,1；B,01；C ,00,1；D,1解析 B；依题意得（1）0)0(04)2(02fmm或（2）0)0(04)2(02fmm或（3）04)2(02mm显然（1）无解；解（2）得0m；解（3）得1m又当0m时
9、12)(xxf，它显然有一个正实数的零点，所以应选 B2 （中山市 11 届统测）方程223xx的实数解的个数为 _ 解析 2；在同一个坐标系中作函数xy)21( 及32xy的图象，发现它们有两个交点故方程223xx的实数解的个数为 2考点 2 用二分法求方程的近似解 例 4（斗门一中 11 届模拟）利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表： x0.20.61.01.41.82.22.63.03.42xy 1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.5562yx0.040.361.01.963.244.846.769.011.56那么方程22xx的一个根位
10、于下列区间的（ ）. A.（0.6，1.0） ；B.（1.4，1.8） ；C.（1.8，2.2） ；D. （2.6，3.0）解题思路判断函数22)(xxfx在各个区间两端点的符号解析由036. 0516. 1)6 . 0(f，00 . 10 . 2)0 . 1 (f，故排除 A；由096. 1639. 2)4 . 1 (f，024. 3482. 3)8 . 1 (f，故排除 B；由024. 3482. 3)8 . 1 (f，084. 4595. 4)2 . 2(f，故可确定方程22xx的一个根位于下列区间（1.8，2.2） ，所以选择 C名师指引用二分法求方程0)(xf的近似解的关键是先寻找使
11、得函数)(xf在两端点异号的某区间，然后依次取其中点，判断函数)(xf在中点的符号，接着取两端函数值异号的区间作为新的区间，依次进行下去，就可以找到符合条件的近似解。 新题导练 3用二分法研究函数13)(3xxxf的零点时，第一次经计算0)0(f，0)5 . 0(f，可得其中一个零点0x，第二次应计算 ，这时可判断0x解析 )5 . 0 , 0(，)25. 0(f，)5 . 0 ,25. 0(；由二分法知)5 . 0 , 0(0x，这时0125. 0325. 0)25. 0(3f，故)5 . 0 ,25. 0(0x考点 3 根的分布问题 例 4 已知函数 f（x）=mx2+（m3）x+1 的图
12、像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧， 求实数 m 的取值范围 解题思路由于二次函数的图象可能与 x 轴有两个不同的交点，应分情况讨论 解析（1）若 m=0，则 f（x）=3x+1，显然满足要求. （2）若 m0，有两种情况：原点的两侧各有一个，则 0104)3(212mxxmmm0； 都在原点右侧，则, 01, 023, 04)3(21212mxxmmxxmm解得 0m1，综上可得 m（，1. 名师指引二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的分布有关的结论： 方程 f（x）=0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小af（r）0.
13、二次方程 f（x）=0 的两根都大于 r . 0)(,2, 042rfarabacb二次方程 f（x）=0 在区间（p，q）内有两根. 0)(, 0)(,2, 042pfaqfaqabpacb二次方程 f（x）=0 在区间（p，q）内只有一根f（p）f（q）0，或 f（p）=0，另一根 在（p，q）内或 f（q）=0，另一根在（p，q）内.方程 f（x）=0 的两根中一根大于 p，另一根小于 q（pq） . 0)(, 0)( qfapfa新题导练 3已知二次函数 f(x)=4x22(p2)x2p2p+1,若在区间1，1内至少存在一个实数 c, 使 f(c)0,则实数 p 的取值范围是_. 解析
14、 (3，23） 只需 f(1)=2p23p+90 或 f(1)=2p2+p+10即3p23或21p1.p(3, 23).4若方程 x2+(k-2)x+2k-1=0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,求实数 k 的取 值范围.解析 12 23k ；令12)2()(2kxkxxf，则依题意得0)2(0) 1 (0)0(fff，即01242401221012kkkkk，解得12 23kcvqnKd5.(2010韶关)若关于 x 的方程 4x+2x a+a+1=0 有实数根，求实数 a 的取值范围. 解析令 t=2x，t0关于 x 的方程 4x+2x a+a+1=0 有实数根等价于方程 t2+at+a+1=0(t0)有正实数根,令 f(t)= t2+at+a+1，且442aa故方程 t2+at+a+1=0(t0)有正实数根等价于（1）方程有一个正根一个
