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1、第 4 讲 函数的单调性与最值 知识梳理知识梳理 函数的单调性定义： 设函数)(xfy 的定义域为A，区间AI 如果对于区间I内的任意两个值 1 x， 2 x，当 21 xx 时，都有)()( 21 xfxf，那么就 说)(xfy 在区间I上是单调增函数，I称为)(xfy 的单调增区间 如果对于区间I内的任意两个值 1 x， 2 x，当 21 xx 时，都有)()( 21 xfxf，那么就 说)(xfy 在区间I上是单调减函数，I称为)(xfy 的单调减区间 如果用导数的语言来，那就是： 设函数)(xfy ，如果在某区间I上0)( x f，那么)(xf为区间I上的增函数； 如果在某区间I上0)
2、( x f，那么)(xf为区间I上的减函数； 1函数的最大（小）值 设函数)(xfy 的定义域为A 如果存在定值Ax 0 ，使得对于任意Ax，有)()( 0 xfxf恒成立，那么称 )( 0 xf为)(xfy 的最大值； 如果存在定值Ax 0 ，使得对于任意Ax，有)()( 0 xfxf恒成立，那么称 )( 0 xf为)(xfy 的最小值。 重、难点突破重、难点突破 重点：掌握求函数的单调性与最值的方法 难点：函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性与最值 重难点：1.对函数单调性的理解 （1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域； （2）
3、函数单调性定义中的 1 x， 2 x有三个特征：一是任意性；二是大小，即 )( 2121 xxxx；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可； （3）若用导数工具研究函数的单调性，则在某区间I上0)( x f（0)( x f）仅是 )(xf为区间I上的增函数（减函数）的充分不必要条件。 （4）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明)(xfy 在某区间I上的单 调性，那么就要用严格的四个步骤，即取值；作差；判号；下结论。但是要注意， 不能用区间I上的两个特殊值来代替。而要证明)(xfy 在某区间I上不是单调递增的，只 要举出反例就可以了，即只要找到区间I上两个特殊的 1 x， 2 x，若 21 xx
4、 ，有 )()( 21 xfxf即可。如果用导数证明)(xfy 在某区间I上递增或递减，那么就证明在某 区间I上0)( x f或0)( x f。 （5）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数 x y 1 分别在 ) 0 , (和), 0( 内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即), 0() 0 , (内是 单调递减的，只能说函数 x y 1 的单调递减区间为) 0 , (和), 0( （6）一些单调性的判断规则：若)(xf与)(xg在定义域内都是增函数（减函数） ，那么 )()(xgxf在其公共定义域内是增函数（减函数） 。复合函数的单调性规则是“异减同增” 2函数的
5、最值的求法 （1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。 （2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调 性求最值。 （3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否 取得） 。 （4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法 （5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变 化范围。 热点考点题型探析热点考点题型探析 考点 1 函数的单调性 题型 1：讨论函数的单调性 例 1 (2010 广东)设Rk ,函数 1, 1 , 1, 1 1 )( xx x xxfRxkxxfxF,)(
6、)(. 试讨论函数)(xF的单调性. 解题思路分段函数要分段处理，由于每一段都是基本初等函数的复合函数，所以应该用导 数来研究。 解析: 因为 1, 1 , 1, 1 1 )( xx x xxf,所以Rx kxx kx xkxxfxF , 1 1 1 )()(. (1)当 x0，) 1( , )1 ( 1 )( 2 xk x xF 当0k时，0)( x F在) 1 ,(上恒成立，故 F(x)在区间) 1 ,(上单调递增； 当0k时，令) 1( , 0 )1 ( 1 )( 2 xk x xF，解得 k k x1， 且当 k k x1时，0)( x F；当11x k k 时，0)( x F 故 F
7、(x)在区间)1 ,( k k 上单调递减,在区间) 1 ,1 ( k k 上单调递增； (2)当 x1 时， x-10，) 1( , 12 1 )( xk x xF 当0k时，0)( x F在), 1 ( 上恒成立，故 F(x)在区间), 1 ( 上单调递减； 当0k时，令) 1( , 0 12 1 )( xk x xF，解得 2 4 1 1 k x， 且当 2 4 1 11 k x时，0)( x F；当 2 4 1 1 k x时，0)( x F 故 F(x)在区间) 4 1 1 , 1 ( 2 k 上单调递减,在区间), 4 1 1 ( 2 k 上单调递增； 综上得，当 k=0 时，F(x)在区间) 1 ,(上单调递增，F(x)在区间), 1 ( 上单调递减； 当 k1, 故: 2 320ttk 上式对一切tR均成立，从而判别式 1 4 120. 3 kk
