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1、1高中数学高中数学 2.32.3 解三角形的实际应用举例同步精练解三角形的实际应用举例同步精练 北师大版必修北师大版必修 5 5基础巩固基础巩固1 有一长为 10 m 的斜坡，倾斜角为 75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为 30，则坡底要延长( )A5 m B10 mC10 m D10 m232 在ABC中，a5，sinA ，sinB ，则b_.1 31 43 在ABC中，a3，b4，C60，则c_.4 如图所示，海平面上的甲船位于中心O的南偏西 30，与O相距 10 海里的C处现甲船以 30 海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向 20 海里的B处
2、的乙船，甲船需要_小时到达B处5 如图，A、B是海平面上的两个点，相距 800 m，在A点测得山顶C的仰角为 45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D是点C到水平面的射影，求山高CD.6 如图A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为 75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为 60，AC0.1 km，试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到 0.01 km，1.414，2.449)262综合过关综合过关7 甲船在A处观察到乙船在它的北偏东 60方向的B处，两船相距a
3、海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上3乙船，此时乙船行驶了多少海里？8 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为 45，距离为 10 海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为 105的方向，以9 海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间能力提升能力提升9 如图，有两条相交成 60角的直路EF、MN，交点是O，起初，甲在OE上距O点 3 km 的点A处；乙在OM上距O点 1 km 的点B处现在他们同时以 4 km/h 的速度行走，甲沿
4、EF的方向，乙沿NM的方向(1)求起初两人的距离(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离(3)什么时候他们两人的距离最短？3参考答案参考答案1 1 解析：解析：如下图，设将坡底加长到B时，倾斜角为 30，在ABB中，B30，BAB753045，AB10 m在BAB中，由正弦定理，得BB10.ABsin45 sin3010 22 1 22坡底要延伸 10 m 时，斜坡的倾斜角将变为 30.2答案：答案：C2 2 答案：答案：15 43 3 答案：答案：134 4 解析：解析：在OBC中，由余弦定理得CB2CO2OB22|CO|OB|cos120100400200700，所以|CB|10，因此甲
5、7船需要的时间为小时10 73073答案：答案：735 5 解：解：在ABD中，BDA1804512015，由，AB sin15AD sin45得ADABsin45 sin15800 226 24800(1) (m)3CD平面ABD，CAD45，CDAD800(1)(m)3山高CD为 800(1)(m)36 6 分析：分析：由题图可直观感知BDBA，且BCAD，这可以通过证明CB是CAD底边AD的中垂线来验证；通过解ABC可求得AB，从而求得B，D间的距离4解：解：在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1.又BCD180606060，所以CB是CAD底边AD的中垂线，所
6、以BDBA.即图中B，D间距离与A，B间的距离相等在ABC中，由正弦定理得，AB sinBCAAC sinABC所以AB.ACsin60 sin153 2 620所以BD0.33 km.3 2 620故B，D的距离约为 0.33 km.7 7 分析：分析：如图，甲、乙两船到达相遇点C时，所用时间相等，通过解ABC来解决解：解：设甲船取北偏东角去追赶乙船，在C点处追上，若乙船行驶的速度是v，则甲船行驶的速度是v，由于甲、乙两船到C点的时间相等，都设为t，则3BCvt，ACvt，ABC120.3由余弦定理可知AC2AB2BC22ABBCcos120，即 3v2t2a2v2t2vat，2v2t2va
7、ta20.t1 ，t2(舍去)a va 2vBCa.CAB30.甲船应取北偏东 30的方向去追乙船，在乙船行驶a海里处相遇8 8 分析：分析：首先根据题意画出图形，如图，由题意可知AC10，ACB为 120，再利用舰艇靠近渔轮所需的时间与渔轮用的时间相同，若设相遇点为B，这样解ABC即可5解：解：设所需时间为t小时，则AB21t，CB9t，在ABC中，根据余弦定理，则有AB2AC2BC22ACBCcos120，可得 212t210281t22109t ，1 2整理得 360t290t1000，36t29t100，(12t5)(3t2)0，t 或t(舍去)舰艇需 小时靠近渔轮2 35 122 3
8、此时AB14，BC6.由正弦定理：，BC sinCABAB sin120sinCAB，CAB21.8.6 32 143 314舰艇航行的方位角约为 66.8.9 9 分析：分析：设t小时后两人距离最短，在构造三角形时，要分两种情况讨论，即甲过O点前后，因为这两种情况所得的三角形不同解：解：(1)由题意，知OA3，OB1，AOB60，在AOB中，由余弦定理，得AB2OA2OB22OAOBcos60，则AB(km)32122 3 1 cos607起初两人的距离是 km.7(2)设t小时后他们两人的距离最短，此时的位置分别是P，Q，则AP4t，BQ4t.当 0t 时，PQ2(34t)2(14t)22
9、(34t)(14t)cos60； 3 4当t 时，PQ2(4t3)2(14t)22(4t3)(14t)cos120. 3 4由，得PQ248t224t7，即PQ.48t224t76(3)由(2)，知PQ.48t224t748t1424当t ，即在第 15 分钟时，他们两人的距离最短1 4第二课时第二课时基础巩固基础巩固1 在ABC中，a4，b5，c7，则 cosC等于( )A B. C. D.1 51 57 94 52 从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为，同时测得建筑物顶部仰角为，则山顶的仰角为 ( )A B C D3 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的
10、北偏东 40，灯塔B在观察站C的南偏东 60，则灯塔A在灯塔B的( )A北偏东 10 B北偏西 10C南偏东 10 D南偏西 104 在 200 m 的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为 30，60，则塔高为( )A. m B. m 400 3400 33C. m D. m200 33200 35 如下图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点已知ACD为正三角形，且DC km，当目标出现在B点时，测得CDB45，BCD75，求炮兵阵地3与目标的距离是多少？(精确到 0.01 km)762003 年，伊拉克战争初期，美英联军为了准确分析战场的形势，由分别位于科威特和沙特的两个
11、相距a的军事基地C和D，测得伊拉克两支精锐部队分别在A处和B处，32且ADB30，BDC30，DCA60，ACB45，如图所示，求伊军这两支精锐部队间的距离7 某渔船在A处测得在北偏东 45的C处有一鱼群，离该渔船 9 n mile，并发现该鱼群正沿南偏东 75的方向以 10 n mile/h 的速度前进，渔船立即以 14 n mile/h 的速度沿直线追捕，问：渔船应以什么方向，需多长时间才能追上该鱼群？综合过关综合过关8 如图，在海岸A处，发现北偏东 45方向距A为(1)海里的B处有一走私船，在3A处北偏西 75方向距A为 2 海里的C处的缉私船奉命以 10海里/时的速度追截走私船，3此时
12、走私船正以 10 海里/时的速度从B处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间9 如图所示，沿一条小路前进，从A到B，方位角是 50，距离是 470 m，从B到C，方位角是 80，距离是 860 m，从C到D，方位角是 150，距离是 640 m，试计算从A到D的方位角和距离能力提升能力提升10 平面内三个力F F1、F F2、F F3作用于同一个点且处于平衡状态，已知F F1、F F2的大小分别为 1 N、 N，F F1与F F2的夹角为 45，求F F3的大小及与F F1的夹角6 228参考答案参考答案1 1 答案：答案：A2 2 答案：答案：C3 3
13、 答案：答案：B4 4 解析：解析：如图，设塔高AB为h，在 RtCDB中，CD200，BCD906030，BC.200 cos30400 33在ABC中， ABCBCD30，ACB603030，BAC120.在ABC中，由正弦定理，得.BC sin120AB sin30AB(m)BCsin30 sin120400 3答案：答案：A5 5 分析：分析：要求AB的长，可转化为解ABD，AB边所对的角ADB是确定的，且ACADCD，在BCD中，求出BD，结合余弦定理求解3解：解：CBD180BCDCDB60.在BCD中，由正弦定理，得BD ()CDsin75 sin601 262在ABD中，ADB
14、4560105，由余弦定理，得AB2AD2BD22ADBDcos1053 ()22 () ()52.1 46231 2621 4623AB2.91(km)52 3炮兵阵地与目标的距离是 2.91 km.6 6 解：解：在ADC中，ADC303060，ACD60，故ADC为等边三角9形，ACa.在BCD中，DBC18030604545，由正弦定理，得32，BCa，在ABC中，由余弦定理，得DC sinDBCBC sinBDCDCsinBDC sinDBC32a122264AB2AC2BC22ACBCcosACB(a)2(a)22aaa2，AB32643264226 16a.647 7 分析：分析：画出图形，利用追及所用时间与鱼群前进的时间相等这一等量关系，并结合余
