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1、线性代数 应用案例,李尚志,1.平行四边形与三角形的面积 2.平面上的旋转 3.平面上的轴对称 4.平面上的直线方程 5.平面二次曲线的分类 6.空间中平行四边形的面积 7.欧氏空间中的旋转 8.空间中的平面对称 9.二次曲面的分类 10.不定方程 x2+y2=z2的整数解 11.最小二乘法 12.多元函数的极值 13.二次函数的条件极值,已知直角坐标平面上三点A(a1,a2), B(b1,b2), O(0,0)。求以OA,OB为一组邻边的平行四边形OACB的面积SOACB及三角形OAB的面积SOAB。,O,A,B,C,1. 平行四边形与三角形的面积,相关知识点,1行列式的定义 2行列式的性质
2、 3行列式的计算,解题方法,1利用向量的运算计算面积。 2利用行列式的几何意义计算面积。,解题过程,解法一：利用向量的运算,解题过程,解法二：利用行列式的几何意义 三阶行列式的几何意义是行列式的三个行向量所围成的平行六面体的“有向”体积；而二阶行列式的几何意义是行列式的两个行向量围成的平行四边形的有向面积。一般的n阶行列式可以看作由平行四边形面积、平行六面体体积推广得到的“n维体积”。,求直角坐标平面上任意点 P(x,y) 绕原点沿逆时针方向旋转角 a 后到达的点 P(x,y) 的坐标。,2.平面上的旋转,相关知识点,1线性变换的矩阵表示 2矩阵运算的定义,解题方法,1考虑基向量旋转之后的象
3、2考虑点旋转后幅角的变化,解题过程,解法一：先求出基向量旋转之后的象,解题过程,解法二：利用点经过旋转后幅角的变化,已知 l 是直角坐标平面上过原点的直线，l 的斜角为a。求平面上任意点 P(x,y) 关于 l 的对称点 P(x,y) 的坐标。,3.平面上的轴对称,相关知识点,1线性变换的矩阵表示 2矩阵运算的定义,解题方法,1考虑基向量关于轴对称的象 2考虑点经过轴对称后幅角的变化,解题过程,解法一，先求出基向量的象。,解题过程,解法二，利用点经过轴对称之后幅角的变化。,进一步的问题,对一般位置直线 l，结论如何？,已知 A(a1,a2)，B(b1,b2) 是直角坐标平面上给定两点。求平面上
4、过 A，B 的直线 lA,B 的方程。,4.平面上的直线方程,相关知识点,1行列式的计算 2行列式的应用,解题方法,三点共线当且仅当三角形面积为零。,解题过程,A，B，P 三点共线当且仅当由 AP 和 AB 所张成的平行四边形或三角形面积为零。于是直线 lA,B 的方程为,直角坐标平面上的二次曲线由一般二次方程 a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0 所确定，其中aij 都是实数且a11,a12,a22不全为零。我们已经知道椭圆，双曲线，抛物线都是二次曲线。问除这三种外还有其他的二次曲线吗？,5.平面二次曲线的分类,相关知识点,1矩阵的
5、相合（合同）关系 2二次型的标准形与规范形 3二次型的应用,解题方法,利用坐标系的变换，化曲线方程为标准形，从而决定曲线的类型和位置。,解题过程,第一步，将曲线方程写成矩阵形式,解题过程,化曲线方程为,第二步，旋转坐标系,解题过程,化曲线方程为,第三步， 若220，平移坐标系,此时，曲线为椭圆 (1122 0) 或双曲线 (1122 0) 及其退化情形。,解题过程,化曲线方程为,若22 = 0，平移坐标系,此时，曲线为抛物线及其退化情形。,已知 n 维直角坐标空间中三点A(a1,an), B(b1,bn)，O(0,0)。求平面OAB中以OA,OB为一组邻边的平行四边形OACB的面积SOACB。
6、,O,A,B,C,6.空间中平行四边形的面积,相关知识点,1行列式的性质 2基变换，坐标变换 3标准正交基,解题方法,建立新的直角坐标系，利用行列式的几何意义计算面积。,解题过程,在平面OAB上建立以O为原点的平面直角坐标系。,O,A,B,C,在此坐标系下，,x,y,解题过程,于是，,进一步的问题,推广到计算 n 维空间中 m 维平行多面体的体积。,设A是三维欧氏空间上的线性变换，求A是旋转变换的充分必要条件。,7.欧氏空间中的旋转,相关知识点,1线性变换的矩阵表示 2正交矩阵，正交变换 3矩阵的特征值和特征向量的定义,解题方法,1先找出A是旋转变换的必要条件 2再证明这也是充分条件,解题过程
7、,第一步，找出A是旋转变换的必要条件。 如果A是旋转变换，选取标准正交基e1,e2,e3使得e3平行于转轴，则A在这组基下的矩阵具有形式,其中是所旋转的角。因此A是行列式为1的正交变换。,解题过程,第二步，证明行列式为1的正交变换都是旋转变换. 设A是正交变换且行列式为1，则存在特征向量e3=Ae3 且 |e3| =1。将其扩充为标准正交基e1,e2,e3，则A在这组基下的矩阵具有形式,A就是一个以e3为转轴的旋转变换，旋转角度为.,已知三维欧氏空间中平面由A(a1,a2,a3)，B(b1,b2,b3)，O(0,0,0) 三点张成。求空间中任意点P(x,y,z)关于的对称点P(x,y,z)的坐
8、标。,P,P,8.空间中的平面对称,相关知识点,1向量内积的定义，欧几里得空间 2向量内积的性质，向量的长度、角度 3 向量的正交,解题方法,1利用平面的单位法向量 2利用点在平面上的投影,解题过程,解法一，利用平面的单位法向量n,n 满足 (n, A) = (n, B) = 0 和 (n, n) = 1，解线性方程组可得,解题过程,解法二，利用点 P 在平面上的投影 Q,Q =A +B 满足 (QP, A) = (QP, B) = 0，解线性方程组可得,进一步的问题,推广到高维空间中点关于超平面的对称。,n 维欧氏空间中二次曲面的一般形式是 xT S x + 2T x + c = 0 求二次
9、曲面在仿射变换 y = A x + b 下的分类。,9.二次曲面的分类,相关知识点,1矩阵的相合（合同）关系 2二次型的标准形与规范形 3二次型的应用,解题方法,通过寻找二次曲面在仿射变换下的不变量，化二次曲面方程为标准形。,解题过程,首先，将曲面方程写成矩阵形式,经过仿射变换 y = A x + b 后曲面方程变为,记,解题过程,此时，曲线为锥面 (pq0) 或平面 (pq=0)。,若 rank G = rank S，则存在仿射变换使得,解题过程,此时，曲面为双曲面 (pq0)，柱面 (pq=0, p+qn) 或球面 (pq=0, p+q=n) 及其退化情形。,若 rank G = rank
10、 S + 1，则存在仿射变换使得,解题过程,此时，曲面为双曲抛物柱面 (pq0, p+qn1)，双曲抛物面 (pq0, p+q=n1)，椭圆抛物柱面 (pq=0, p+qn1) 或椭圆抛物面 (pq=0, p+q=n1)。,若 rank G = rank S + 2，则存在仿射变换使得,求方程 x2 + y2 = z2 之整数解。,10.不定方程,相关知识点,1行列式的定义 2线性方程组的应用,解题方法,将不定方程写成矩阵行列式的形式，由行列式为零知矩阵方程有非零整数解。再由此解出不定方程的整数解。,解题过程,首先，将该方程写成行列式,故有不全为零的整数 a，b，使得,解之，得,解题过程,于是
11、，不定方程的整数解为,其中 a, b, c 为任意整数且 a, b 不全为 0。,炼钢是一个氧化降低碳含量的过程，钢液含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，因此必须掌握它们之间的相互关系。设已测得某平炉的熔毕碳 x (炉料熔化完毕时钢液的含碳量)与精炼时间 y (从炉料熔化完毕到出钢所用的时间) 的一列数据，如下表,希望由这些数据得出x与y的近似函数关系y=f(x)。,11.最小二乘法,相关知识点,1二次函数的极值问题 2矩阵的相合（合同）关系 3二次型的标准形与规范形,解题方法,首先建立数学模型将问题化为求二元二次函数的极小值问题。再利用实对称方阵相合对角化的方法将二次型化为标准形，求出所处理
12、的二次函数取最小值的条件。,解题过程,第一步，将这些数据在平面直角坐标系中画出来,解题过程,观察发现这些点近似地在一条直线上，因此可以近似地用某个一次函数 y = k x + b 来描述。一般说来, 这样的 k, b 不可能完全适合于所有已知点。为此，要求所有这些误差的平方和,解题过程,第二步，求函数(k, b) 的最小值。,解题过程,第三步，将本题所给出的数据代入公式，可得直线方程为 y1.2673 x 30.5143。,设f (x1,xn) 是含 n 个实变量的连续实值函数，且 对所有变量都有2 阶连续的偏导数，求f 的极值。,12.多元函数的极值,相关知识点,1实二次型的正定性 2二次型
13、的应用,解题方法,多元函数局部近似于二次函数，可用求二次函数极值的方法处理多元函数的极值。,解题过程,将 f 在 x = a 处进行 Taylor 展开，有,若f 在x=a 处达到极大值或极小值, 则必有J(a)=0。如果H 正定, 则f(a)为极小值。如果H 负定, 则 f(a)为极大值。,求实函数 f (x,y) = ax2+bxy+cy2 在单位圆 x2 + y2 = 1 上的 极值。,13.二次函数的条件极值,相关知识点,1矩阵的特征值和特征向量 2用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法,解题方法,1Lagrange 乘子法 2用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵,解题过程,方法一，Lagrange 乘子法。 考虑函数 h(x,y,z) = f(x,y)(x2+y21)z 的极值点：,此时，f(x,y)=z。于是 f(x,y) 在单位圆上的极大值, 极小值分别为矩阵的最大, 最小特征值。,解题过程,方法二，用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵。,于是 f(x,y) 在单位圆上的极大值, 极小值分别为A的最大, 最小特征值。,END,
