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1、,专题四 数列、推理与证明,第 2讲 数列求和及综合应用,主 干 知 识 梳 理,热 点 分 类 突 破,真 题 与 押 题,主干知识梳理,1.数列求和的方法技巧 (1)分组转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并.,(2)错位相减法 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列. (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩
2、余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.,(4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和.这种方法，适用于求通项为 的数列的前n项和，其中an若为等差数列，则 .,常见的裂项公式：,2.数列应用题的模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差. (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比. (3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型.,(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加
3、(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型.如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等. (5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an1(或前n项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识来解决问题.,热点一 分组转化求和,热点二 错位相减法求和,热点三 裂项相消法求和,热点分类突破,热点四 数列的实际应用,例1 等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.,热点一 分组转化求和,(1)求数列an的通项公式；,思维启迪根据表中数据逐个推敲确定an的通项公式；,解 当a13
4、时，不合题意； 当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意； 当a110时，不合题意. 因此a12，a26，a318，所以公比q3. 故an23n1 (nN*).,(2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前n项和Sn.,思维启迪分组求和.,解 因为bnan(1)nln an 23n1(1)nln(23n1) 23n1(1)nln 2(n1)ln 3 23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3， 所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.,当n为偶数时，,当n为奇数时，,变式训练1,已知数列an中，a11，anan
5、1( )n(nN*). (1)求证：数列a2n与a2n1(nN*)都是等比数列；,证明 因为anan1( )n，an1an2( )n1，,又a11，a2 ，所以数列a1，a3，a2n1，是以1为首项， 为公比的等比数列；,数列a2，a4，a2n，是以 为首项， 为公比的等比数列.,(2)若数列an的前2n项和为T2n，令bn(3T2n)n(n1)，求数列bn的最大项.,bn13(n1)(n2)( )n1，,所以b1b4bn，,所以(bn)maxb2b3 .,例2 设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn12Snn1(nN*)， (1)求数列an的通项公式；,热点二 错位相减法求和,思维启迪
6、n1时，Sn2Sn1n两式相减得an的递推关系式，然后构造数列求通项；,解 Sn12Snn1， 当n2时，Sn2Sn1n， an12an1，an112(an1)，,又S22S12，a1S11，,an12n，即an2n1(nN*).,(2)若bn ，数列bn的前n项和为Tn，nN*，证明：Tn0，前n项和为Sn，S36，且满足a3a1,2a2，a8成等比数列. (1)求an的通项公式；,热点三 裂项相消法求和,思维启迪利用方程思想可确定a，d，写出an；,解 由S36，得a22. a3a1,2a2，a8成等比数列， (2d)(26d)42，,解得d1或d ，,d0，d1. 数列an的通项公式为a
7、nn.,(2)设bn ，求数列bn的前n项和Tn的值.,思维启迪利用裂项相消法求Tn.,变式训练3,已知等差数列an是递增数列，且满足a4a715，a3a88. (1)求数列an的通项公式；,解 根据题意a3a88a4a7，a4a715， 所以a4，a7是方程x28x150的两根，且a480，,当n7时，由于S6570，,因为an是递减数列，所以An是递减数列.,所以必须在第九年年初对M更新.,变式训练4,设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额地分成n次付清，若每期利率r保持不变，按复利计算，则每期期末所付款是( ),解析 设每期期末所付款是x元， 则各次付款的本利和为x(1r)
8、n1x(1r)n2x(1r)n3x(1r)xa(1r)n，,答案 B,本讲规律总结,(3)递推关系形如 f(n)，常用累乘法求通项. (4)递推关系形如“an1panq(p、q是常数，且p1，q0)”的数列求通项，常用待定系数法.可设an1p(an)，经过比较，求得，则数列an是一个等比数列. (5)递推关系形如“an1panqn(q，p为常数，且p1，q0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以qn转化为类型(4)，或同除以pn1转为用迭加法求解.,2.数列求和中应用转化与化归思想的常见类型： (1)错位相减法求和时，将问题转化为等比数列的求和问题求解. (2)并项求和时，将问题转化为
9、等差数列求和. (3)分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解.,提醒：运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n1项中的前n项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零.,3.数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能力.其中，建立数列模型是解决这类问题的核心，在解题中的主要思路：首先构造等差数列或等比数列模型，然后用相应的通项公式与求和公式求解；通过归纳得到结论，再用数列知识求解.,真题感悟,押题精练,真题与押题,1,2,真题感悟,1.(2013湖南)设Sn为数列an的前n项和，Sn(1)nan ，nN*，则
10、： (1)a3_； (2)S1S2S100_.,1,2,真题感悟,解析 anSnSn1,1,2,真题感悟,根据以上an的关系式及递推式可求.,1,2,真题感悟,真题感悟,2,1,2.(2014课标全国)已知数列an满足a11，an13an1. (1)证明an 是等比数列，并求an的通项公式；,证明 (1)由an13an1，,真题感悟,2,1,真题感悟,2,1,因为当n1时，3n123n1，,真题感悟,2,1,押题精练,1,2,3,1.如图，一个类似杨辉三角的数阵，则第n(n2)行的第2个数为_.,押题精练,1,2,3,解析 由题意可知：图中每行的第二个数分别为3,6,11,18， 即a23，a36，a411，a518， a3a23，a4a35，a5a47，anan12n3， 累加得：ana2357(2n3)， ann22n3. 答案 n22n3,押题精练,1,2,3,2.秋末冬初，流感盛行，特别是甲型H1N1流感.某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列an，已知a11，a22，且an2an1(1)n(nN*)，则该医院30天入院治疗甲流共有_人.,押题精练,1,2,3,解析 由于an2an1(1)n， 所以a1a3a291， a2，a4，a30构成公差为2的等差数列， 所以a1a2a29a30,
