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1、1,关键词：随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数,第二章 随机变量及其分布,1 随机变量,常见的两类试验结果：,示数的降雨量；候车人数；发生交通事故的次数,示性的明天天气（晴，云）；化验结果（阳性，阴性）,3,X=f(e)为S上的单值函数，X为实数,中心问题：将试验结果数量化,4,6,定义：取值至多可数的随机变量为离散型的随机变量。概率分布(分布律)为,2 离散型随机变量及其分布,概率分布,8,例：若随机变量X的概率分布律为求常数c.,解：,例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为p，0p0,q0),
2、则称X服从参数为p的0-1分布，或两点分布.,若X的分布律为：,一、01分布,14,记为它的分布律还可以写为,对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即 ，我们总能在S上定义一个服从（01）分布的随机变量。,来描述这个随机试验的结果。,16,检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用（01）分布的随机变量来描述 。,一个随机试验,设A是一随机事件,且P(A)=p,(0p1).若仅考虑事件A发生与否, 定义一个服从参数为p的0-1分布的随机变量:,来描述这个随机试验的结果。只有两个可能结果的试验，称为Bernoulli试
3、验。,18,二、二项分布,即每次试验结果 互不影响,在相同条件下 重复进行,n重贝努利试验：设试验E只有两个可能的结果： ,p(A)=p,0p1,将E独立地重复进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验。,独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果:正面，反面，,将一颗骰子抛n次，设A=得到1点，则每次试验只有两个结果：,20,如果是不放回抽样呢？,从52张牌中有放回地取n次，设A=取到红牌，则每次只有两个结果：,21,设A在n重贝努利试验中发生X次，则,并称X服从参数为p的二项分布，记,推导：设Ai= 第i次A发生 ，先设n=3,例：由6位品酒师独立投票评定某种酒是否为优质酒。若6
4、位中有4位投票同意，则定该酒为优质酒，设每位品酒师作出正确判断的概率为p，0p1。求： （1）若该酒为优质酒时，能作出正确判断的概率； （2）若该酒不为优质酒时，能作出正确判断的概率.,24,例：有一大批产品，其验收方案如下：先作第一次检验,从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，从中任取5件，仅当5件中无次品便接受这批产品，设产品的次品率为p求这批产品能被接受的概率.,26,解：设A=接受该批产品。 设X为第一次抽得的次品数，Y为第2次抽得的次品数.,则XB(10,p)，YB(5,p)，且X=i与Y=j独立。,27,例：设随机变量,泊松分布(Poisso
5、n分布),若随机变量X的概率分布律为,称X服从参数为的泊松分布，记,30,求(1)随机观察1个单位时间，至少有3人候车的概率；(2)随机独立观察5个单位时间，恰有4个单位时间至少有3人候车的概率。,例：设某汽车停靠站单位时间内候车人数,31,33,34,例：某地区一个月内每200个成年人中有1个会患上某种疾病，设各人是否患病相互独立。若该地区一社区有1000个成年人，求某月内该社区至少有3人患病的概率。,36,称X服从超几何分布,超几何分布,若随机变量X的概率分布律为,38,例：一袋中有a个白球，b个红球，abN,从中不放回地取n个球，设每次取到各球的概率相等，以X表示取到的白球数，则X服从超
6、几何分布。,称X服从参数p的几何分布,几何分布,若随机变量X的概率分布律为,40,例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品的次品率为p，0p1，若查到一只次品就得停机检修，设停机时已检测到X只产品，则X服从参数p的几何分布。,称X服从参数为(r,p)的巴斯卡分布.,巴斯卡分布,若随机变量X的概率分布律为,42,例：独立重复地进行试验，每次试验的结果为成功或失败，每次试验中成功的概率均为p，0p0,q0,q+p=1.,46,解：,48,例：设一物体在A,B两点间移动，A,B之间距离3个单位。该物体停留在A,B两点的概率各为1/4，落在A,B间任一子区间的概率与区间长度成正比。设它离A点的距离为X
7、 ，求X的分布函数。,4 连续型随机变量及其概率密度,定义:对于随机变量X的分布函数 若存在非负的函数 使对于任意实数 有：,则称X为连续型随机变量，,52,与物理学中的质量线密度的定义相类似,例：设X的概率密度为(1)求常数c的值； (2) 写出X的概率分布函数；(3)要使 求k的值。,54,解：,55,56,例：一银行服务需要等待，设等待时间X（分钟）的概率密度为,某人进了银行，且打算过会儿去办另一件事，于是先等待，如果超过15分钟还没有等到服务就离开，设他实际的等待时间为Y，(1)求Y的分布函数;(2)问Y是离散型随机变量吗？连续型随机变量吗？,几个重要的连续量,均匀分布定义：X具有概率
8、密度,称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为XU(a,b),59,例：（1）在区间(-1,2)上随机取一数X，试写出X的概率密度。并求 的值； （2）若在该区间上随机取10个数，求10个数中恰有两个数大于0的概率。,61,解：（1） X为在区间(-1,2)上均匀分布,（2）设10个数中有Y个数大于0， 则：,例：杭州某长途汽车站每天从早上6点（第一班车）开始，每隔30分钟有一班车开往上海。王先生在早上6:20过X分钟到达车站，设X服从（0，50）上的均匀分布， （1）求王先生候车时间不超过15分钟的概率； （2）如果王先生一月中有两次按此方式独立地去候车，求他一次候车不超过15分钟，另一次候
9、车大于10分钟的概率。,63,6:20 6:30 6:45 7:00 7:10,解： （1）P(候车时间不超过15钟)=25/50=0.5,(2) P(候车时间大于10分钟)=30/50=3/5,P(一次候车时间不超过15分钟，另一次时间大于10分钟)=21/23/5=3/5,指数分布,其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布。记为,定义：设X的概率密度为,65,X具有如下的无记忆性：,67,68,正态分布,定义：设X的概率密度为,其中 为常数，称X服从参数为 的正态分布(Gauss分布)，记为,可以验证：,70,正态概率密度函数,称为位置参数(决定对称轴位置)为尺度参数(决定曲线分散性),X
10、的取值呈中间多，两头少，对称的特性。 当固定时，越大，曲线的峰越低，落在附近的概率越小，取值就越分散，即是反映X的取值分散性的一个指标。 在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。,正态分布下的概率计算,例：,例：用天平称一实际重量为 的物体，天平的读数为随机变量 ，设 时， （1）求读数与 的误差小于0.005的概率； （2）求读数至少比 多0.0085的概率。,82,83,例：一批钢材(线材)长度 (1)若=100，=2，求这批钢材长度小于97.8cm的概率； (2)若=100，要使这批钢材的长度至少 有90%落在区间(97,103)内，问至多取何值？,85,例：设一天中
11、经过一高速公路某一入口的重型车辆数X近似服从 ，已知有25的天数超过400辆，有33的天数不到350辆，求,87,5 随机变量的函数分布,例如，若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的测量值可看作随机变量X，若 则Y服从什么分布？,问题：已知随机变量X的概率分布，且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。,90,即找出(Y=0)的等价事件(X=0)； (Y=1)的等价事件(X=1)与(X=-1)的和事件,解：Y的所有可能取值为0,1,例：设随机变量X具有概率密度,求 的概率密度。,92,解：分记X,Y的分布函数为,93,Y在区间(0,16)上均匀分布。,一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的概率分布的过程为：,关键是找出等价事件。,例：设 Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。,96,解：Y的可能取值为-2,0,2Z的可能取值为0,1(Y=-2)的等价事件为(X=-1)(Z=1)的等价事件为(X=1)(X=-1),故得：,例：,98,例如：XU(-1, 2)，求,101,102,例如：XN(0, 1)，求,105,106,108,例：,解：,110,111,113,114,116,117,课件待续!,
