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1、2018/10/19 20:00,近世代数,第二章 群论 2元素的阶,2018/10/19 20:00,元素的指数,有意义,据此, 可定义群的元素的指数: 设,为正整数, 则规定:,显然有,,,其中,为任意整数.,2018/10/19 20:00,定义1,的最小正整数,;若不存在这样的,显然,群中单位元的阶为1,其他元的阶,为无限.,都大于1,,2018/10/19 20:00,例1,关于数的普通乘法做成,4次单位根群.,2018/10/19 20:00,例2,正有理数乘群,单位元的阶是1,,其他元的阶均为无限.,例3 非零有理数乘群,1的阶是1,,-1的阶是2,,其余元的阶均为无限.,201
2、8/10/19 20:00,定理1,有限群,中每个元素的阶均有限.,,在,中必有相等的. 设,则,,从而阶有限.,证明:设,2018/10/19 20:00,注:,无限群中元素的阶可能无限,也可能有限,,关于普通乘法作成无限交换群,,甚至可能都有限.,例4,,则,其中每个元素的阶都有限.,2018/10/19 20:00,定理2,证明: 令,,,,则,.,.,(2)若,2018/10/19 20:00,定理3,若群中,,则,设,,则,证明:,2018/10/19 20:00,两个推论:,推论1 在群中,若,则,,其中s,t 均为正整数.,推论2 在群中,若,,则,2018/10/19 20:00,定理4,证明:,,于是,若,2018/10/19 20:00,例5 |ab|一定等于|a|b|吗?,是有理数域Q上的全体二阶满秩,方阵关于矩阵乘法做成的群.,2018/10/19 20:00,例5 |ab|一定等于|a|b|吗?,是有理数域Q上的全体二阶满秩,方阵关于矩阵乘法做成的群.,2018/10/19 20:00,思考题:,设G是群,且|G|1. 证明:若G中除e外其 余元素的阶都相同,则这个相同的阶不是无 限,就是素数.,