边值问题的解法ppt培训课件

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1、第三章 边值问题 的 解 法,求解边值问题通常可以转化为归结在给定边界条件下，求解拉普拉斯方程或泊松方程的问题。求解边值问题的方法一般分为解析法和数值法。,3.1 边值问题的分类* 3.2 唯一性定理 3.3 镜像法* 3.4 分离变量法* 3.5 有限差分法,解析法,数值法,3.1 边值问题的提法,边值问题：给定边界条件下求解电场的电位函数所满足的方程。对不同的问题，边界条件有不同的给定方式，场也满足不同的方程。,3.1.1 边值问题的分类,(1) 已知场域边界面S上各点电位的值，即,第一类边界条件或狄利克利条件,(2) 已知场域边界面S上各点电位法向导数的值，即,第二类边界条件或诺伊曼条件

2、,(3) 已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性组合值，即,第三类边界条件或混合边界条件,如果边界面S是导体，则三类问题变为：已知各导体表面的电位；已知各导体的总电量；已知一部分导体电位和另一部分导体的总电量。,如果场域延伸到无限远处，对于电荷分布在有限区域的情况，则无限远处的电位为有限值，即,自然边界条件,3.1.2 泊松方程和拉普拉斯方程,在线性、各向同性、均匀的电介质中，有,(3-1-5),对电荷分布在导体表面的静电场问题，在导体内部体电荷分布为零，即 ，故有,(3-1-6),静电场的泊松方程,拉普拉斯方程,已知场域边界 上各点电位值,边值问题框图,自然 边界条件,参考点电位有限

3、值,边值问题,微分方程,边界条件,场域 边界条件,分界面 衔接条件,第一类 边界条件,第二类 边界条件,第三类 边界条件,已知场域边界 上各点电位 的法向导数,一、二类边界条件的线性组合，即,3.2 唯一性定理（Uniqueness Theorem),在静电场中，在每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯的解必定是唯一的。静电场的唯一性定理。,证明略,唯一性定理给出了拉普拉斯方程定解的充分必要条件，即,镜像法和分离变量法就是唯一性定理的应用。,边界条件,边界条件,定解,3.3 镜 像 法,实际的工程问题：当实际电荷靠近导体表面时，由于导体表面上会出现感应电荷，必然会对实际电荷的场产生影响。例1：地

4、球对架空传输线所产生电场的影响。例2：发射或接收天线的场分布会因支撑它们的金属导电体的出现而显著改变。结论：计算空间的电场，不仅要考虑原电荷的电场，还要考虑感应电荷的电场，这就必须知道表面电荷的分布。直接分析这些问题既复杂又困难。,镜像法是求解静电边值问题的一种间接方法，它巧妙应用唯一性定理，使某些看来难解的边值问题易于解决。主要用来求解无限大导体附近的电荷（点电荷/线电荷）产生的场。,镜像法: 是暂时忽略边界的存在，在所求区域外放置虚拟电荷来代替实际导体表面（等位面）上复杂的电荷分布来进行计算。此虚拟电荷称为实际电荷的镜像（Image)。镜像电荷的要求：根据唯一性定理，只要镜像电荷和实际电荷

5、一起产生的电位能满足给定的边界条件，又在所求的区域内满足拉普拉斯方程即可。,3.3.1 点电荷与平面边界平面镜像法,求置于无限大导电平面上方d处的点电荷q的电位。,分析：点电荷位于导体平面上时，导体上会产生感应电荷。感应电荷产生后，会影响上半空间电场分布，即影响电位。,能否在导电平面下方放一个电荷量为-q的点电荷来代替导体平面上的感应电荷？,另上半空间的电位既满足拉普拉斯方程，又满足边界条件：导体表面电位由所有电荷产生，其值为0；且在无穷远处，总电位趋于0。,如果q为镜像电荷，则空间任一点P(x,y,z)的电位为,在z 0的上半平面(除点电荷所在点)，2=0；在z= 0的平面上，=0 ，2=0

6、 。 当z、|x|、|y|时，0。,验证解的正确性，关键是考察代替后得到z0的空间电位能否拉普拉斯方程和边界条件。,根据唯一性定理，式(3-1-1)必是所求问题的解。,用电位函数反求感应电荷量。,导电平面上，有,导体表面的感应电荷密度为,如果导电平面无限大，可以看作半径为无限大的圆，则无限大导电平面的感应电荷为,导体表面感应的总电荷正是预期值q。,结论：点电荷位于无限大导体平面上时，导体表面总的感应电荷可以用位于对称位置，带等量异号电荷的镜像电荷来代替。镜像电荷不能放在当前求解的场域内。,讨论：镜像电荷的 数目？1）当一个点电荷位于两平行导电平面的之间时，其镜像电荷数趋于无穷。2）若平面的夹角

7、为，且3600/为偶数，则可以用镜像法求解，镜像电荷的个数为(3600/)-1，再加上原电荷总共3600/个，镜像电荷位于与原电荷关于边界对称的位置上，且大小相等、符号相反；若3600/不为偶数，则镜像电荷就会出现在所求区域，这将改变该区域内电位所满足的方程，不能用镜像法求解。,【例3-1】图3-2为自由空间垂直放置的两个半无限大导电接地平面组成的直角劈，今有一电量为100nC的点电荷位于点(3,4,0)，求点(3,5,0)处的电位和电场强度，其中各坐标单位为m。,图3-2 两垂直平面间的点电荷,解：两平面夹角为900，则镜像电荷个数为n= (3600/)-1=3，即为满足边界条件，需要三个镜

8、像电荷。其分布如下图。,则所求点(3,5,0)处的电位为,(3,4,0),则,3.3.2 点电荷与球面边界,自由空间中接地导体球半径为a，一点电荷q位于距球心d处，如图 3-3所示，求球外任一点的电位。,如果仍用镜像法求解，即接地导体球上的感应电荷对点电荷的影响可以用置于导体球内部的镜像电荷来代替，那么镜像电荷的大小和位置如何确定？,图3-3 接地导体球外的点电荷,待定：1) 大小 由于导电球面弯曲，故镜像电荷量不等于真实电荷q，设镜像电荷为q1=-mq；2) 位置 应在球内，且位于上半球内的球心与实际电荷的连线上(应为感应电荷左右对称) ，设在距离原点b处。,则球外任一点的电位为原电荷和镜像

9、电荷共同产生,式中,电位函数在球表面处电位为零(边界条件)，即在r=a处对任意角度，有,解此方程得：,结论：1) 一般m1。当m=1时，d=a，即仅当真实电荷位于球面上时，镜像电荷在数量上才和真实电荷相等。2)当电荷q远离球体时，镜像电荷则趋于球心。,球体表面的电荷密度为,球体表面总的感应电荷量为：,结论：点电荷位于导体球面外时，导体表面总的感应电荷可以用镜像电荷来代替。镜像电荷不能放在当前求解的场域内。,讨论：1) 当球不接地时，球面电位不为零，而球面上的净电荷为零(边界条件)。为满足此边界条件，需再加入一个镜像电荷q2=-q1,其位置在球心以保持球面仍为等位面。此时球外任一点的电位为球的电

10、位等于q2在球面上产生的电位，即2）如果点电荷位于球内时，确定镜像电荷和前面方法一样，镜像电荷位于球外。,3.3.3 线电荷的镜像,线电荷位于无限长 接地导体圆柱外,线电荷位于无 限大导体平面上,镜像电荷：,自由空间中无限长接地导体圆柱半径为a， 一个线密度为l 的无线长带电直线置于离圆柱轴线距离为d处, 如图 3-4所示，求柱外任一点的电位。,图 3-4 接地无限长 导体圆柱外的线电荷,如果仍用镜像法求解，即接地导体圆柱上的感应电荷对线电荷的影响可以用置于导体圆柱内部的镜像电荷来代替，那么镜像电荷的大小和位置如何确定？,待定：1) 大小 设镜像电荷为 ；2) 位置 应在球内，且位于上半球内的

11、球心与实际电荷的连线上(应为感应电荷左右对称) ，设在距离原点b处。,则球外任一点的电位为原线电荷和镜像线电荷共同产生,式中,电位函数在圆柱表面处电位为零(边界条件)，即在=a处对任意角度，有,解此方程得：,另在导体圆柱表面电场强度的切向分量为零，即,验证略。,例3-2 两平行圆柱形导体的半径都为a，导体轴线之间的距离是D，若导体间的电压为U，如图3-5，求空间任一点的电位和单位长的电容。,解：由于两圆柱导体间电压为U，因此两圆柱导体带等量异号的电荷。当两导体间距较近时，由于正负电荷相互吸引，因此两导体表面上的电荷分布不均匀（相互靠近的一侧电荷密度大，相互远离的一侧电荷密度小。可将两圆柱导体上

12、的分布电荷看成集中分布的线电荷l和-l，利用柱面镜像法得,以原点为参考点，线电荷 和 在空间任意点P处产生的电位分别为,故P处的总电位为,右边圆柱上任一点的电位为,左边圆柱上任一点的电位为,当Da时，,故两圆柱导体间的为,单位长度的电容为,与式（2-4-2)结果不一致。这是由于此处考虑了两导线间电荷的相互作用，使电荷的中心位置发生偏移。,与式（2-4-2)结果一致,小结：镜像法的理论基础是静电场唯一性定理； 镜像法的实质是用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；镜像法的关键是确定镜像电荷(电轴)的个数(根数)，大小及位置；应用镜像法解题时，注意：镜像电荷（电轴）

13、只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。,3.4 分 离 变 量 法,分离变量法是把一个多变量函数表示成几个单变量函数乘积的方法。条件：（1）要求给定边界与一个适当坐标系的坐标面相和；（2）在坐标系中，要求待求偏微分方程的解可表示为三变量大函数的个函数乘积，且其中每个函数仅是一个坐标变量的函数。在直角、圆柱、球坐标系中都可以用分离变量法。,3.4.1 直角坐标系中的分离变量法在直角坐标系中， 拉普拉斯方程为,设可以表示为三个函数的乘积， 即,将式(3-4-2)代入式(3-4-1)，并除以，得,每项都为一个单变量的函数。,要使上式成立，只有每项等于常数。即,则,为分离常数。,这三

14、个常数只有两个是独立的，且它们不能全为实数、虚数或零。,常系数二阶微分方程的解的形式由分离常数的取值决定，以 为例。,(3-4-4),(3-4-5),(3-4-6),若 为实数，则微分方程的解为,若 为虚数，令 为实数)，则微分方程的解为,若 0，则微分方程的解为,、 和 情况类似。 则拉普拉斯方程的解 就有不同的组合形式 。根据唯一性定理，给定边界条件时解是唯一的。,【例3-3】如图 3-6所示长方形截面的导体槽，槽可以视为无限长，其上有一块与槽相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为ab，槽体的电位为零，盖板的电位为U0， 求槽内的电位函数。,图 3-6 导体槽中的电位,解： 因为槽沿z方向无限长，

15、故电位函数与z无关，只是x、y的函数，即=(x, y)。这是一个矩形域的二维场问题。,在直角坐标系中，电位函数(x, y)的拉普拉斯方程为,边界条件为：,令 ，则由分离变量法得到以下三个方程,若 为实数，则 一定为虚数，否则反之。,注： 称为方程(3-4-4)在边界条件下的本征函数。kx=n/a称为本征值。,即kxa=n或kx=n/a(n=1, 2, 3, )，则,令 为实数，则,利用边界条件，得,故,再利用边界条件，得,故,又 ，故,利用边界条件，得,故,对不同的n对应的进行叠加，可得到电位函数的通解为：,双曲函数：,由于,左右两边同乘以sin(mx/a)， 并在区间(0，a)积分，有,由边界条件，得,因而，,n=2, 4, 6, ,n=1, 3, 5, ,这样得到待求区域的电位为,所以，当n=1, 3, 5, 时，,当n=2, 4, 6, 时，,【例3-4】如图 3-7所示两半板距离为d的平行板电容器存在着体电荷密度为 恒定电荷，其中一块板的电位为0，另一块板的电位为U0， 求电容器内的电位分布。,