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1、1,第5章 数字滤波器的设计,5.1 数字滤波器的基本概念 5.2 模拟滤波器的设计 5.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 5.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 5.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计,2,数字滤波器：,是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。,高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能,优点：,5.1 数字滤波器的基本概念,3,1.数字滤波器的分类,(1)总体分类：经典滤波器，信号与干扰分占不同频带：选频滤波器现代滤波器，信号与干扰频带重叠：维纳滤波器、卡尔曼滤
2、波器、自适应滤波器等(2)滤波特性：低通、高通、带通、带阻等(3)网络结构：IIR、FIR,4,理想低通、高通、带通、带阻数字滤波器幅度特性,5,2.数字滤波器的技术指标我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(ej)用下式表示：,数字低通滤波器的技术要求,通带纹波幅度 阻带纹波幅度 通带截止频率 3dB通带截止频率 阻带截止频率,6,通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用ap表示，阻带内允许的最小衰减用as表示，ap和as分别定义为：,(5.1.3),(5.1.4),如将|H(ej0)|归一化为1，(5.1.3)和(5.1.4)式则表示成
3、：,(5.1.5),(5.1.6),7,3. 数字滤波器设计方法概述,Specifications,Desired IIR,Butterworth, Chebyshev, elliptic, Bessel, etc.,脉冲响应不变法 阶跃响应不变法 双线性变换法,IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是不同，IIR滤波器设计需要借助于模拟滤波器来完成,回想控制器设计问题,8,5.2 模拟滤波器的设计,模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Elliptic)滤波器、贝塞
4、尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。,9,图5.2.1 各种理想模拟滤波器的幅频特性,10,1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有ap, p,as和s。p：通带截止频率 s：阻带截止频率ap：通带最大衰减系数 as：阻带最小衰减系数,(5.2.1),(5.2.2),将=0处幅度已归一化到1，即|Ha(0)|=1,得到,(5.2.3),(5.2.4),11,技术指标给定后，设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标ap和as。一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此,(5.2.5),注意： 1. 从数学
5、上讲，有无限多种Ha(s)能满足指标 2. 实际中，针对结构给定的Ha(s) （如：Butterworth, Chebyshev, Elliptic等），选取合适的参数,12,幅度平方函数：,(5.2.6),两个参数：N, c,2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法,13,将|Ha(j)|2写成s的函数：,(5.2.7),N阶Butterworth滤波器，|Ha(j)|2=Ha(s)Ha(-s)有2N个极点，极点sk为：,(5.2.8),三阶巴特沃斯滤波器极点分布,|Ha(j)|2的2N个极点均匀分布在半径为c的圆上,14,为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，
6、,例：设N=3，极点有6个，它们分别为,(5.2.10),取s平面左半平面的极点s0, s1, s2组成Ha(s)：,15,归一化：由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，需要将所有的频率归一化这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 令归一化复变量p=s/c，pk=sk/c，得到归一化巴特沃斯的传输函数,(5.2.11),(5.2.12),16,式中，pk为归一化极点，用下式表示：将极点表示式(5.2.13)代入(5.2.12)式，得到的Ga(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示：,(5.2.13),(5.2.15),归一化后Ga(p)的N个极点均匀分布在左半单位圆上
7、,表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数,20,求参数N: 通带指标:阻带指标:,N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数,(5.2.18),21,求参数 c: 3dB截止频率c可由通带指标/阻带指标分别得到:通带指标,阻带指标,(5.2.19),(5.2.20),22,低通巴特沃斯滤波器的设计步骤总结：,(2) 根据N求出归一化极点pk，以及归一化传输函数Ga(p):,(4) Ga(p)去归一化:,(3) 求c:,将p=s/c, pk=sk/c代入Ga(p)，得到实际的传输函数Ha(s),(1) 根据技术指标p, ap, s和as，求滤波器的阶数N:,23,例5.2.1 已知通带截止频
8、率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解： (1) 确定阶数N,24,(2) 其极点为,归一化传输函数为,25,上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表5.2.1；由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.0000,其中，a0=1.0000, a1=3.2361, a2=5.2361, a3=5.2361, a4=3.2361,26,(3) 求3dB截止频率c按照(5.2.19)式，得到：,
9、(4) Ga(p)去归一化，将p=s/c, pk=sk/c代入Ha(p)中得到：,27,Matlab实现常用函数：buttap, buttord, butter%Butterworth_Lowwp=2*pi*5000;ws=2*pi*12000;Ap=2;As=30;N,wc=buttord(wp,ws,Ap,As,s);B,A=butter(N,wc,s);fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk;figure(1); freqs(B,A,wk);Hk=freqs(B,A,wk);figure(2);plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk);xlabe
10、l(Frequency(kHz);ylabel(Magnitude(dB);axis(0,14,-40,5);,28,29,3.切比雪夫低通滤波器的设计方法,Motivation：Butterworth的频率特性曲线在通带和阻带内都是单调递减若通带（阻带）边界处满足指标，则通带（阻带）内会有较大余量更有效的方法在通带（或阻带、两者）之内等波纹(equiripple)，可降低滤波器阶数Chebyshev和Elliptic滤波器都是根据此原则设计的,30,切比雪夫低通滤波器： I型通带等波纹，阻带单调递减 II型通带单调递减，阻带等波纹,31,0 1 (或 p) |Ha(j)|单调递减到0,36,
11、切比雪夫型与巴特沃斯低通的A2()曲线,N相同时，切比雪夫I型性能更好,37,|Ha(s)|的极点分布：,N阶|Ha(s)|2有2N个极点，令分布在左平面的N个稳定极点为|Ha(s)|的极点。通过繁琐的计算可知极点sj为，,极点位于椭圆之上,短轴为ap ，在实轴上 长轴为bp，在虚轴上,38,三阶切比雪夫滤波器的极点分布,三个极点，i分别为: 0 = 2/3 1 = 2 = 4/3,39,归一化与去归一化,(5.2.38),c为待定系数，根据幅度平方函数(5.2.24)式可得：c = 2N-1,(5.2.40),归一化：令p = s/p， pi = si/p ，,去归一化：,(5.2.39),
12、40,指标与参数、N之间的关系决定通带内最大衰减ap|Ha(j)|2最大值：|Ha(j)|2最小值：通带内最大衰减ap ：N影响过渡带宽度，以及通带内波动的疏密（N等于通带内极值的总个数）,(5.2.27),(5.2.26),求得,41,和N决定阻带内最大衰减as,(5.2.44),结合,求得N,42,(1) 给定技术指标ap, p, as和s,切比雪夫型滤波器设计步骤,(2) 计算参数和N,(3) 求归一化极点pi及系统Ga(p),(4) 去归一化得到实际系统Ha(s),43,例5.2.2设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减ap=0.1dB，阻带截止频率fs=
13、12kHz，阻带最小衰减as=60dB。 解：(1) 滤波器的技术要求：,(2) 求阶数N和：,44,(3) 求Ga(p):,可求出N=5时的极点pi，得到：,(4) 将Ga(p)去归一化，得到：,45,Matlab实现常用函数：cheb1ap, cheb1ord, cheby1, cheb2ap, cheb2ord, cheby2%Chebyshev1_Lowwp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;Ap=0.1;As=60;N,wp=cheb1ord(wp,ws,Ap,As,s);B,A= cheby1(N, Ap,wp,s);fk=0:14000/512:14000;wk=2
14、*pi*fk;figure(1);freqs(B,A,wk);Hk=freqs(B,A,wk);figure(2);plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk);xlabel(Frequency(kHz);ylabel(Magnitude(dB);axis(0,14,-70,5);,46,47,4.椭圆低通滤波器简介,Motivation：Butterworth的频率特性曲线在通带和阻带内都是单调递减Chebyshev-I在通带等波纹， Chebyshev-II在阻带等波纹Elliptic在通带和阻带内都是等波纹,几种滤波器比较：Butterworth滤波器是Chebyshev滤波器的特殊形式Chebyshev滤波器是Elliptic滤波器的特殊形式Elliptic滤波器性能最好,48,UN(x)为N阶雅可比椭圆函数。,
