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1、1第第 9 讲讲教学目的要求：教学目的要求：掌握矩阵的初等变换。了解初等矩阵的性质。主要内容主要内容：矩阵的初等变换与初等矩阵。重点重点难难点点 ：矩阵的初等变换。教学手段：教学手段：多媒体教学（电子教案及粉笔、黑板的有机结合）教学教学时时数：数：2 学时第二章第二章 矩矩阵阵及其运算及其运算 2.6 矩矩阵阵的初等的初等变换变换一、矩一、矩阵阵的初等的初等变换变换与初等矩与初等矩阵阵定定义义2.16 对矩阵施行的以下三种变换（1）互换矩阵的某两行（列）（2）用一非零数乘以矩阵的某一行（列）（3）将矩阵的某一行（列）各元素的k倍加到另一行（列）对应元素上称为矩阵的初等行（列）变换。矩阵的初等行
2、变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。定定义义 2.17 对单位矩阵 E 施行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。2初等矩阵有以下三种类型：（1（ 互换 n 阶单位矩阵的第 i，j 两行(列）所得到的矩阵。nE将其记为，即jiEn,列列行行jijijiEn100010100001010001,（2（ 用非零数 k 乘以 n 阶单位矩阵的第 i 行（列）所得到的矩nE阵。将其记为，即 kiEn 列行iikkiEn1111（3）将 n 阶单位矩阵的第 j 行的 k 倍加到第 i 行(或第 i 列的 knE倍加到第 j 列)所得到的矩阵。将其记为，即 kjiEn,3 列列行行jijik kjiEn
3、1111,容易验证，初等矩阵具有以下性质：（1（ 初等矩阵的转置仍为初等矩阵。（2（ 初等矩阵均是可逆矩阵。（3（ 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，且，jiEjiE,1 kiEkiE11 kjiEkjiE,1定理定理 2.2 设 是 mn 矩阵，则 ijaA （1（ 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵;（2（ 对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵;定理定理 2.3 任意一个矩阵 都可经过有限次初等变换 nmijaA化为形如 OOOEr4 rmin(m,n)的矩阵。称此矩阵为矩阵 A 的等价标准型。推推论论 1 n 阶方阵
4、A 可逆的充要条件是 A 的最简形为单位矩阵。定理定理 2.4 n 阶方阵 A 可逆的充要条件是 A 可以表示成有限个初等矩阵的乘积。推推论论 2 对任意矩阵 A，存在 m 阶初等矩阵和 nnmsPPP,21阶初等矩阵，使得tQQQ,21=APPPs12tQQQ21 OOOEr由于初等矩阵都是可逆矩阵，上式又可写为11 21 1sPPPA OOOEr1 11 21QQQt二、用初等二、用初等变换变换求矩求矩阵阵的逆的逆设 A 可逆，则其逆也可逆，根据定理 1.6，存在初等矩阵1A，使kCCC,21kCCCA211构造分块矩阵EA,则 =kCCC21EA,ECCCACCCkk2121,EAAA1
5、1,5= （2.3）1,AE根据定理 2.2，在一个矩阵的左边乘以一个初等矩阵相当于对该矩阵施行一次初等行变换。因此， （2.3 ）式相当于：对分块矩阵作一系列的初等行变换，当子块 A 化为 E 时，E 化为。EA,1A由此我们得到了一个求逆矩阵的简便方法 ，具体步骤如下：（1）构造 n2n 矩阵EA,（2）对连续施行初等行变换，直至左边子块 A 化为单位EA,矩阵 E，此时右边子块即为。即1A初等行变换1,AEEA例 1 求矩阵的逆矩阵 416315314 A解 65100010011416315001 ) 1( 100010001416315314 , EA3121045011100310
6、001 1 166045011410310001 61,121322011100010001 AE所以 121322011 1A注意：在用初等行变换求 A 的逆矩阵的过程中，必须始终用行变换，其间不能用任何列变换。最后 ，我们介绍一种求解矩阵方程 AX=B 的方法：设 A 为 n 阶可逆方阵，B 为 nm 矩阵，在方程 AX=B 的两边左乘，得1ABAX1由于 A 可逆，根据定理 1.6，存在初等矩阵，使得kCCC,21kCCCA211构造分块矩阵BA,则 =kCCC21BA,BCCCACCCkk2121,=BAAA11,= BAE1,由此我们得到求的方法： BA1若 A 可逆，构造分块矩阵，对作初等行变换，BA,BA,当左边子块 A 化为 E 时，右边子块即为.BA17例 2 设矩阵，求 X，使 AX+B=X. 311211 , 010111110 BA解 由 AX+B=X， 得 X-AX=B,即 （E-A）X=B因为，且 110101111 AE01 110101111 AE所以 E-A 可逆，由此解得 BAEX1)( 312111110010111311211110101111 ,BAE 102112100010101 1021221000100011,AEE所以 . 102122 X
