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1、OC1B1A1D1DABC教学目标(考纲要求): 掌握异面直线所成角的概念和异面 直线所成角的求法; 2.掌握直线与平面所成角的概念,以及 直线与平面所成角的求法; 3.理角二面角及平面角的概念掌握求 二面角大小的方法. 4.培养学生将空间问题转化为平面问 题的化归能力. 教学过程: 一、 提问检查基础知识 1、 两条异面直线所成角的定义？范围 是多少？ 2、 直线与平面所成角的定义？直线与 平面所成角的范围是什么？怎样求 直线与平面所成的角？ 3、 二面角的定义？怎样定义二面角的 平面角？二面角的平面角的范围？ 怎样确定二面角的平面角？ 二、基本技能训练讲评: 1、在棱长为 1 的正方体 A
2、BCD- A1B1C1D1中，M、N 分别为 A1B1和 BB1的 中点，那么直线 AM 与 CN 所成的角为（ ）ABCDA1B1C1D1MNG（A）（B）3arccos210arccos10（C）（D）3arccos52arccos5 讲评：复习异面直线所成的角，取 AB 的 四等分点 G，连 NG，CG，则CNG(或它 的补角)为所求.选 D. 2.在一个二面角的两个半平面分别垂直于另 一个二面角的两个半平面,则这两个二面角 的大小关系是( ) (A)相等(B)互补 (C) 相等或互补(D)不能确定讲评:复习二面角的有关概念,选 D 3、从一点出发的三条射线 OA、OB、OC 两两成 6
3、00角，则 OA 与平面 OBC 所成的 角为_ 讲解:复习线面角的概念.强调结论如果一条 射线与一个角的两边所成的角相等,则它在 这个角所在平面上的射影是这个角的平分线.利用公式容易求得123coscoscos答案为3arccos3三、基本方法课堂演练： 4如图，在正方体中，求面对角线1AC与对角面所成的角奎屯王新敞新疆1AB11BB D D解一：连结与交于，连结，11AC11B DOOB，111DDAC1111B DAC平面，1AO 11BB D D是与对角面所成1ABO1AB11BB D D的角，在中，1Rt ABO111 2AOAB130ABO解法二：由法一得是与对角1ABO1AB面所
4、成的角，11BB D D又，112coscos452ABB，1 16cos3B BB BOBO11 1 12 cos32coscos26 3ABBABOB BO，130ABO说明：求直线与平面所成角的一般方法是 先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其 射影的夹角奎屯王新敞新疆另外，在条件允许的情况下，用公式求线面角显得21coscoscos更加方便奎屯王新敞新疆5 5如图，平面，AB BCDBDCD 若，求二面角2ABBCBD 的正弦值奎屯王新敞新疆BACD分析：要求二面角的正弦值，首先要找到 二面角的平面角奎屯王新敞新疆解：过作于，过作DDEACEE 交于，连结，EFACBCFDF则垂直于平面
5、，为二面角CDEFFED 的平面角，BACD，ACDF 又平面，AB BCD ，ABDFABCD 平面，DF ABC ，DFEFDFBC 又，ABCDBDCD 平面，CD ABDCDAD 设，则，BDa2ABBCa 在中，Rt BCD，11 22BCDSBC DFBD CD，3 2DFa同理，中， Rt ACD15 2 2DEa，3 102sin5152 2aDFFEDDEa所以，二面角的正弦值为BACD10 5四、综合能力提升 6、 （2005 年全国卷）已知四棱锥 P ABCD 的底面为直角梯形，ABDC，DAB=900,PA底面 ABCD，且 PA=AD=DC=AB=1，M 是 PB 的
6、中点。1 21、 证明：面 PAD面 PCD； 2、求 AC 与 PB 所成的角； 3、求面 AMC 与面 BMC 所成二面角 的大小。ENMDCBAP分析：本小题考查直线与平面垂直， 直线与平面所成的角的有关知识与思 维能力及空间想象能力。 （1）证明：PA面 ABCD,CDAD, 由三垂线定理得：CDPD，因而，CD 与面 PAD 内 内条相交直线 AD、PD 都垂 直，CD面 PAD，又 CD平面 PCD， 面 PAD面 PCD。 （2）解：过点 B 作 BECA，且ABCDE FBE=CA，则PBE 是 AC 与 PB 所成的角连结 AE，可知 AC=CB=BE=AE=，又2AB=2，
7、所以四边形 ACBE 为正方形，由PA面 ABCD 得：PEB=900,在 RtPEB中，BE=，PB=，2510cos5BEPBEPBAC 与 PB 所成的角为10arccos5(3)解：作 ANCM，垂足为 N，连结 BN，在 RtPAB 中，AM=MB，又 AC=CB，AMCBMC. BNCM, 故ANB 为所求二面角的平面角。 CBAC，由三垂线定理，得 CBPC， 在 RtPCB 中，CM=MB，所以 CM=AM. 在等腰三角形 AMC 中,22()2ACAN MCCMAC3262 55 2AN AB=2, 2222cos23ANBNABANBANBN 故所求的二面角为2arccos
8、()3说明:本题也可通过建立坐标系采用向量方 法求解. 7. 如图所示,正三角形 ABC 的边长为 3， 过其中心 G 作 BC 边的平行线,分别交 ABAC 于 B1,C1, 将AB1C1折起到 A1B1C1的位置.使点 A1在平面 BB1C1C 上的 射影恰是线段 BC 的中点 M,求(1)二面角A1B1C1M 的大小。 （2）异面直线 A1B1 与 CC1所成角的大小（用反三角函数表示） 。PA1MGB1C1 CBA1111111111111111111111117.(1).90260AMAGGABCMBCAGMAMBCBCBCBCAMGGMBCGABCAGMABCMABBC CMAMM
9、GAMGRt AGMAGAGGMAGMABCM解如图所示，连结，是正三角形的中心，且为的中点、三点共线，与，即，是二面角的平面角点在平面上的射影为，在中，由得，即二面角的大1111111111111111111160(2)112290BC CBCPAB PABCCPBC CB BPC CBPPMBMBPABABAMBBC CMAMBCAMPRt AGM 小是过做的平行线交与，则等于异面直线与所成的角由是平行四边形得，面于，在中，11122222 1111222 1111 11 11133sin60322315( )( )222cos2AMAGRt AMPAPAMPMAB PABB PAPAB
10、PAB B P 在中，在中，由余弦定理得2211152152 2 2 18 5arccos8ABCC 与所成角的大小为五.课堂小结:（1）本节我们复习了用几何方法求异面直线所成的角、直线与平面成角、二面角的平面角等几个概念，同学们要注意这几个角的定义、范围等。（2）在用几何方法求空间角时，要注意空间角转化为平面角求解这一转化思想。（3）常用的解题步骤是： 一作、二证、三计算学生作业 1.一条直线和平面所成角为 ，那么 的 取值范围是（ ） （A） （0,90）（B）0,90 （C）0,180（D）0,180 答案：选 B 2.从平面外一点 P 引与平面相交的直线， 使 P 点与交点的距离等于
11、1，则满 足条件的直线条数不可能是（ ） （A）0 或 1 （B）0 或无数条 （C）1 或 2 （D）0 或 1 或无数条答案：选 D 3、如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E、F 分别为棱 AB、C1D1的中点，则 A1B1 与截面 A1ECF 所成角的正弦值为（ ）（A）（B）3 3（C）（D）6 31 32 2 3讲评:复习直线与平面所成角的求法.容易证 得平面 A1B1CA1ECF,即B1A1C 为所求.在A1B1C 中,容易求解.选 B4空间四边形中，分别为ABCDFE,的中点，若，BDAC,ABCD2，则与所成的角为 ABEF EFCD （ ）(A) (B) 304
12、5 (C) (D) 60905平面内有BOC=600，OA 是的斜 线，OA 与BOC 两边所成的角都是 450，且 OA=1，则直线 OA 与平面所成 的角的正弦值是 （ ）A B C D 93 73 333答案：选 C6在 600的二面角的棱上有两点 A、B，AC、BD 分别是在这个二面角的 两个面内垂直于 AB 的线段，已知： AB=6，AC=3，BD=4，则 CD= 。 答案：7cm 7正方体 ABCDA1B1C1D1中，平面 AA1C1C 和平面 A1BCD1所成的二面角（锐 角）为 。答案:38.已知菱形的一个内角是 600，边长为 a， 沿菱形较短的对角线折成大小为 600的二
13、面角，则菱形中含 600角的两个顶点间的 距离为 。答案: a239设在平面内的射影是直角三角ABCD 形的斜边的中点，BCDBDO，1,2ACBCCD求（1）与平面所成角的大小；ACBCD （2）二面角的大小；ABCDE EF FD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1D DC CB BA AO EDCFBA（3）异面直线和的大小奎屯王新敞新疆ABCD解：（1）面 AO BCDAOCO 为与面所成角ACOACBCD 1,2BCCD3BD 13 22COBD3cos2ACO6ACO即与平面所成角的大小为奎屯王新敞新疆ACBCD6（2）取中点，连接 BCE,OE AE/OECD CDBC
14、OEBC 又面 AO BCDAEBC 为二面角的平面角AEOABCD又121,222OECDAO AOOE2tan2AOAEOOE2arctan2AEO即二面角的大小为奎屯王新敞新疆ABCD2arctan2（3）取的中点，连接，则ACE,EF OF/,/EFAB OECD与所成的锐角或直角即为异面OEEF 直线和所成角ABCD易求得奎屯王新敞新疆45OEF即异面直线和所成角为奎屯王新敞新疆ABCD4510如图，设ABC 和DBC 所在的两个 平面互相垂直，且 AB=BC=BD，CBA=DBC=1200。 （1）A、D 的连线和平面 BCD 所成的角； （2）A、D 的连线和直线 BC 所成的角； （3） 二面角 ABDC 的正切值；10 答案.(1)(2) (3)-2045090ABDC
