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1、第三讲,柯西不等式与排序不等式,一 二维形式的柯西不等式,若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.,定理1（二维形式的柯西不等式）:,你能证明吗？,推论,向量形式：,定理2: （柯西不等式的向量形式）,根据两点间距离公式以及三角形的边长关系:,观察,定理（二维形式的三角不等式） 设 ，那么,例题,例1.已知a,b为实数,证明：(a4+b4) (a2+b2) (a3+b3)2,例3.设a,bR+,a+b=1,求证,练习：,作业,第37页,第1,5,6题,二 一般形式的 柯西不等式,(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,二维
2、形式的柯西不等式）:,三维形式的柯西不等式）:,n维形式的柯西不等式）:,当且仅当 (i=1,2,n) 或 存在一个 数k使得 (i=1,2,n) 时等号成立。以上不等式称为一般形式的柯西不等式。,一般形式的三角不等式,例2 已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：,ab+bc+cd+da.,例3 已知x+2y+3z=1,求 的最小值。,例4：设a、b、c为正数且各不相等。 求证：,又a、b、c各不相等，故等号不能成立 原不等式成立。,例5 若abc 求证：,例6：若求证：,分析：左端变形只需证此式 即可,三 排序不等式,反序和乱序和顺序和,例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第
3、i(i=1,2,10)个人的水桶需要ti分，假定这些ti各不相同。 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？,解：总时间(分）是10t1+9t2+2t9+t10 根据排序不等式，当t1t2t9t10时， 总时间取最小值。 即：按水桶的大小由小到大依次接水， 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是:10t1+9t2+2t9+t10,例2 设a1,a2,an是n个互不相等的正整数， 求证：,证明：设b1,b2,bn是a1,a2,an的一个排列，且有 b1b2bn 因为b1,b2,bn是互不相等的正整数， 所以b11,b22,bnn.,又因,由排序不等式，得：,练习,练习,练习,练习,
