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1、曲阜师范大学中学数学杂志(2007 年第 7 期)1构造法在不等式问题中的应用内蒙古包头市第四中学 李存保(014030) 内蒙古包头市第四中学 钟德强(014030)内容提要本文介绍了应用构造法解不等式的内容,通过具体的例题说明高考或竞 赛试题中不等式问题,引导学生进行积极主动的数学思维活动。 关键词 构造法 数学思维 应用 观察 对于解不等式或证明不等式是高中数学中的一类重要题型。它涉及面广以某种载体出 现在高考或竞赛试题中。它是学生的难点问题,学生要抓住试题特征,构造目标函数、方 程、数列等,就可以成功解决此类问题。笔者给出此类问题的具体实例,以供大家参考。 【例 1】 已知1a+b3
2、且 2ab4,求 4a+2b 的取值范围. 剖析:a+b,ab 的范围已知, 要求 4a+2b 的取值范围, 只需将 4a+2b 用已知量 a+b,ab 表示出来. 再仔细观察可以发现一个函数 f(x)=ax2+b 有 f(1)=a+b,,f(-1)=a-b,f(2)=4a+2b 解:设 f(x)=ax2+b 并且引入 x,y 使 4a+2b=x(a+b)+y(ab) ,解得4 2.xy xy ,3 1x y ,f(2)=3f(1)+f(-1) , -1f(2)13. 即-14a+2b13. 评述:解此题常见错误是:1a+b3, 2ab4.+得 12a7.24a14 由得4ba2.+得52b1
3、, +得34a+2b15.【例 2】 已知 a、b、x、yR+且,xy.a1 b1求证:.axx byy 剖析:观察待证不等式的特征,用比较法或分析法较适合。该例若用构造函数的思想 会使学生耳目一新。证法一:令 f(x)=,易证 f(x)在(0,+)上为增函数,从而axx axx y ya再令 g(x)=,易证 g(x)在(0,+)上单调递减xmm ,a、bR+.aba1 b1曲阜师范大学中学数学杂志(2007 年第 7 期)2g(a)g(b) ,即,amm bmm axx byy 证法二:原不等式即为 1axax1byby为此构造函数 f(x)=,x(0,+)1xx易证 f(x)在(0,+)
4、上为单调增函数,而ax by,即 1axax1bybyaxx byy 【例 3】 已知 a1,n2,nN*.求证:1.nana1剖析:对于这个问题看起来较难,其中有变量 n,体现抽象性。让学生们在短时间内 难以理清头绪。因而解决问题的关键就在于“去掉根式”把题设条件中的根式转化为 某个特定变量来表示,然而再进行运算证明。证法一:要证1,nana1即证 a(+1)n.na1令 a1=t0,则 a=t+1.也就是证 t+1(1+)n. 构造出一个二项式定理(1+a)n的结构nt(1+)n=1+C+C ()n1+t,nt1 nntn nnt即1成立.nana1证法二:设 a=xn,x1.于是只要证x
5、1,nxn1即证n.联想到等比数列前 n 项和构造一个等比数列 1,x,xn11 xxn1+x+xn1= 11 xxn倒序 xn1+xn2+1=.11 xxn+得 2=(1+xn1)+(x+xn2)+(xn1+1)11 xxn曲阜师范大学中学数学杂志(2007 年第 7 期)32+2+22n.1nx1nx1nxn.11 xxn【例 4】.设 a+b+c=1,a2+b2+c2=1 且 abc.求证:c0.31剖析:三个变量间的关系,在条件“a+b+c=1,a2+b2+c2=1 且 abc”的作用下,将 不等式的“真面目”隐含了,给证明不等式带来困难,若用 c 表示 a+b 和 ab,则还原出原
6、不等式的“真面目” ,从而抓住实质,解决问题. 证明:a2+b2+c2=1, (a+b)22ab+c2=1.2ab=(a+b)2+c21=(1c)2+c21=2c22c. ab=c2c. 又a+b=1c,a、b 是方程 x2+(c1)x+c2c=0 的两个根,且 abc.构造二次函数 令 f(x)=x2+(c1)x+c2c,则 . 0031 210)(cfccc【例 5】 求证:+.|1| baba |1| aa |1| bb 剖析:|a+b|a|+|b|,故可先研究 f(x)=(x0)的单调性.xx 1证明:令 f(x)=(x0) ,易证 f(x)在0,+)上单调递增.xx 1|a+b|a|+|b|, f(|a+b|)f(|a|+|b|) ,即=.|1| baba |1| baba |1| |1| bab baa |1| |1| bb aa