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1、曲阜师范大学中学数学杂志(2007 年第 7 期)1构造法在不等式问题中的应用内蒙古包头市第四中学 李存保（014030） 内蒙古包头市第四中学 钟德强（014030）内容提要本文介绍了应用构造法解不等式的内容，通过具体的例题说明高考或竞 赛试题中不等式问题，引导学生进行积极主动的数学思维活动。 关键词 构造法 数学思维 应用 观察 对于解不等式或证明不等式是高中数学中的一类重要题型。它涉及面广以某种载体出 现在高考或竞赛试题中。它是学生的难点问题，学生要抓住试题特征，构造目标函数、方 程、数列等，就可以成功解决此类问题。笔者给出此类问题的具体实例，以供大家参考。 【例 1】 已知1a+b3
2、且 2ab4，求 4a+2b 的取值范围. 剖析：a+b，ab 的范围已知， 要求 4a+2b 的取值范围， 只需将 4a+2b 用已知量 a+b，ab 表示出来. 再仔细观察可以发现一个函数 f（x）=ax2+b 有 f（1）=a+b,，f（-1）=a-b，f（2）=4a+2b 解：设 f（x）=ax2+b 并且引入 x，y 使 4a+2b=x（a+b）+y（ab） ，解得4 2.xy xy ，3 1x y ，f（2）=3f（1）+f（-1） ， -1f（2）13. 即-14a+2b13. 评述：解此题常见错误是：1a+b3， 2ab4.+得 12a7.24a14 由得4ba2.+得52b1
3、， +得34a+2b15.【例 2】 已知 a、b、x、yR+且，xy.a1 b1求证：.axx byy 剖析：观察待证不等式的特征，用比较法或分析法较适合。该例若用构造函数的思想 会使学生耳目一新。证法一：令 f（x）=，易证 f（x）在（0，+）上为增函数，从而axx axx y ya再令 g（x）=，易证 g（x）在（0，+）上单调递减xmm ，a、bR+.aba1 b1曲阜师范大学中学数学杂志(2007 年第 7 期)2g（a）g（b） ，即，amm bmm axx byy 证法二：原不等式即为 1axax1byby为此构造函数 f（x）=，x（0，+）1xx易证 f（x）在（0，+）
4、上为单调增函数，而ax by，即 1axax1bybyaxx byy 【例 3】 已知 a1，n2，nN*.求证：1.nana1剖析：对于这个问题看起来较难，其中有变量 n，体现抽象性。让学生们在短时间内 难以理清头绪。因而解决问题的关键就在于“去掉根式”把题设条件中的根式转化为 某个特定变量来表示，然而再进行运算证明。证法一：要证1，nana1即证 a（+1）n.na1令 a1=t0，则 a=t+1.也就是证 t+1（1+）n. 构造出一个二项式定理（1+a）n的结构nt（1+）n=1+C+C （）n1+t，nt1 nntn nnt即1成立.nana1证法二：设 a=xn，x1.于是只要证x
5、1，nxn1即证n.联想到等比数列前 n 项和构造一个等比数列 1，x，xn11 xxn1+x+xn1= 11 xxn倒序 xn1+xn2+1=.11 xxn+得 2=（1+xn1）+（x+xn2）+（xn1+1）11 xxn曲阜师范大学中学数学杂志(2007 年第 7 期)32+2+22n.1nx1nx1nxn.11 xxn【例 4】.设 a+b+c=1，a2+b2+c2=1 且 abc.求证：c0.31剖析：三个变量间的关系，在条件“a+b+c=1，a2+b2+c2=1 且 abc”的作用下，将 不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带来困难，若用 c 表示 a+b 和 ab，则还原出原
6、不等式的“真面目” ，从而抓住实质，解决问题. 证明：a2+b2+c2=1， （a+b）22ab+c2=1.2ab=（a+b）2+c21=（1c）2+c21=2c22c. ab=c2c. 又a+b=1c，a、b 是方程 x2+（c1）x+c2c=0 的两个根，且 abc.构造二次函数 令 f（x）=x2+（c1）x+c2c，则 . 0031 210）（cfccc【例 5】 求证：+.|1| baba |1| aa |1| bb 剖析：|a+b|a|+|b|，故可先研究 f（x）=（x0）的单调性.xx 1证明：令 f（x）=（x0） ，易证 f（x）在0，+）上单调递增.xx 1|a+b|a|+|b|， f（|a+b|）f（|a|+|b|） ，即=.|1| baba |1| baba |1| |1| bab baa |1| |1| bb aa
