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1、等差数列,王先生是一家大汽车公司的董事长，他有一对双胞胎儿子，分别叫大双和小双。儿子们长大了，董事长决定给他们一次锻炼和考验的机会。他让两个儿子临时各自负责管理一个分厂，为期三个月。这两家分厂的现有生产能力都是每月2000辆汽车。大双接管分厂以后，多方挖掘潜力，一个月后，每月生产能力递增400辆。小双也不示弱，发动全厂上下献计献策，半个月后，每半月生产能力递增90辆。三个月期满后，王先生笑逐颜开，对两个儿子说：“你们都是好样的”。大双和小双的成绩究竟谁更好？,兄弟竞赛问题,儿子们长大了，董事长决定给他们一次锻炼和考验的机会。他让两个儿子临时各自负责管理一个分厂，为期三个月。这两家分厂的现有生产
2、能力都是每月2000辆汽车。大双接管分厂以后，多方挖掘潜力，一个月后，每月生产能力递增400辆。小双也不示弱，发动全厂上下献计献策，半个月后，每半月生产能力递增90辆。,兄弟竞赛问题,2000,2800,2400,7200,1000,1180,1090,1270,1360,1450,7350,下面请同学们仔细观察这两个数列，各有什么特点？有什么共同特点？,观察归纳,2000，2400，2800； 1000，1090，1180，1270，1360，1450,从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,等差数列,一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这
3、个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。,2000，2400，2800； 1000，1090，1180，1270，1360，1450,如果数列an，满足an-an-1=d（d为常数，n2，且nN*），则数列an叫做以d为公差的等差数列。,公差是400,公差是90,1、将这两个数列的项的次序作一颠倒，得到的数列（即如下）是否与原数列一样？是否等差数列？若是，公差是多少？ 2800，2400，2000； 1450，1360，1270，1180，1090，1000。,2000，2400，2800； 1000，1090，1180，1270，1360，1450,2、常数列a，a
4、，a，是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由,3、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由。,思考,变式训练,公差是-400,公差是-90,公差是0,公差是90,公差是400,问题：已知等差数列an的首项是a1，公差是d（即an-an-1=d），试写出a2，a3，a4，并归纳出它的一个通项公式an（用首项a1及公差d表示）。,通项探究,等差数列的概念,1000，1090，1180，1270，1360，1450,第6个月生产能力是多少？,（1）这里通项公式是由a2，a3，a4归纳得出，因而此公式对a1是否成立需要补充说明：当n=1时，上面等式两
5、边均为a1，即等式也成立。,（2）这种由前几项归纳得出一般的通项公式的方法（由特殊到一般），我们称为不完全归纳法，其结果不一定可靠，还需证明的。归纳法，也是我们今后已知数列的递推式求通项公式的常用方法之一。,（3）等差数列an的第n项an，是其首项a1与公差d的（n-1）倍之和。,评注：,由等差数列的定义知： a2-a1=d = a2=a1+d， a3-a2=d = a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d， a4-a3=d = a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d， 由此得到，,an=a1+(n-1)d,思考,写通项公式,知道首项a1及公差d，即可写出等差数列的通项公式,an=
6、2000+400(n-1)=400n+1600,an=1000+90(n-1)=90n+910,an=2800-400(n-1)= -400n+3200,an=1450-90(n-1)= -90n+1540,an=a+(n-1)0=a,等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d,20,26,3,5.2,小组，在等差数列中，填写下表：,简单应用,（1）求等差数列8，5，2，的第20项。 （2）-401，-395分别是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，是第几项？,1,2,3,等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d,（3）在等差数列an中，已知a5=10，a12=31，求an,问
7、题：我们知道数列图象是一群孤立的点，那么等差数列的图象又有什么特点？,图象研究,以首项是1，公差是2的等差数列an(an=2n-1)为例,数列的通项公式的实质是定义在正整数集N*（或它的有限子集1，2，3，n）上的函数，那么，等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d（其中d0）是什么函数？,当公差d0时，它是关于n的一次函数式； 当公差d=0时，它是常数函数。,图象研究,问题：我们知道数列图象是一群孤立的点，那么等差数列的图象又有什么特点？,以首项是1，公差是2的等差数列an（an=2n-1）为例,从图象上看，表示等差数列an（an=2n-1）的各点均匀分布在一次函数y=2x-1的图象（直线
8、）上。,结论：从图象上看，表示公差为d的等差数列的各点均匀分布在一次函数（或常数函数）y=dx+a1-d的图象（直线）上。,1、试用三种数学语言（文字语言、符号语言、图象语言）来表述一下等差数列的概念：,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。,如果数列an，满足an-an-1=d（d为常数，n2，且nN*），则数列an叫做以d为公差的等差数列。,从图象上看，表示公差为d的等差数列的各点均匀分布在一次函数（或常数函数）y=dx+a1-d的图象（直线）上。,2、首项是a1，公差是d的等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，在a1，d，n，a
9、n这四个量中可知三求一，体现方程思想；,总结反思,3、等差数列的通项公式的推导方法归纳法（由特殊到一般）和累加法，也是我们今后已知数列的递推式求通项公式的常用方法。,4、数学与生活实际有着密切联系，数学概念来源于生活实际，又应用于生活实际。,任务后延，自主探究,（1）练习课本P118习题3.2中15 （2）兄弟竞赛问题作进一步研究，由自己提出假设，提出问题，予以讨论和研究。例如，假设为期六个月，那么，结果又如何呢？是否还是小双的分厂更好呢？各月产量是否一定小双的分厂多？月平均产量谁更多？等等。 （3）研究性课题：等差数列有哪些性质？,（1）求等差数列 8 ， 5 ，2，的第20项。,分析：根据
10、a1=8，d=5-8= -3，先求出通项公式an ，再求出a20,解： 由a1=8, d=5-8= -3 ，得 an=a1+(n-1)d =8-3 (n-1) ，又n=20，故 a20 =8-(20-1)3=-49,（1）、求等差数列 8 ， 5 ，2，的第20项。,分析：根据a1=8，d=5-8= -3，先求出通项公式an ，再求出a20,解： 由a1=8, d=5-8= -3 ，得 an=a1+(n-1)d =8-3 (n-1) ，又n=20，故 a20 =8-(20-1)3=-49,（2）-401，-395分别是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，是第几项？,分析：根据a1=
11、-5，d= -4，先求出通项公式an ，再把 401代入，然后看是否存在正整数n ，使得an=-401成立 。,解： 由 a1= -5, d= -9-(-5)= -4，得 an= -5+(n-1) (-4)= -4n-1令 -401= -4n-1 解得n=100，所以，-401是该数列的第100项。,反思：等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d中，a1，d，n，an这四个量，知道其中的任意三个量，就可以求出余下的一个量，即知三求一。,（3） 在等差数列an中 ， 已知a5=10 ，a12=31 ,求通项an 。,分析： 此题已知a5=10，n=5 ；a12=31 , n=12分别代入通项， 公式an = a1+(n-1)d 中 ，可得两个方程，都含a1与d两个未知 数组成方程组，可解出a1与d 。,反思,这里采用待定系数法，通过解方程（组），求出首项a1和公差d，体现了方程思想，是数学中常用的解题思想方法。,谢谢,
