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1、2018/10/19,1,第一章 線性方程式系統,1.1 線性方程式系統簡介 1.2 高斯消去法與高斯-喬登消去法 1.3 線性方程式系統的應用(-Skip-),1 - 2,1.1 線性方程式系統簡介,n個變數的線性方程式 (linear equation),係數a1，a2，a3，an都是實數，並且常數項b也是實數。a1稱為領先係數(leading coefficient)，x1稱為領先變數(leading variable)。,注意：(1) 線性方程式之變數不可以是相乘或是開根號，且變數不能被包含在三角、指數或對數函數裡面。,(2) 變數只能以第一冪次的方程式表示 。,1 - 3,範例 1：
2、線性、非線性,1 - 4,n個變數線性方程式的解 (solution),解集合 (solution set)所有滿足線性方程式的解所構成的集合。,當,使得,1 - 5,範例 2：解集合的參數化表示 (parametric representation),將方程式整理成 ，並令 可得 則解集合為或,其中一解為 (2, 1)，即,1 - 6,n個變數m條線性方程式系統 (system of linear equations),一致性 (consistent)線性方程式系統至少有一解,非一致性 (inconsistent)線性方程式系統無解,1 - 7,對一線性方程式系統而言，下列有一為真,(1)
3、系統只有唯一解(一致性系統) (2) 系統有無限多組解(一致性系統) (3) 系統為無解(非一致性系統),1 - 8,範例 4：(線性方程式系統的解) (1)(2)(3),1 - 9,範例 5：使用回代法(back substitution)解列梯形形式的方程式系統,解：將 代入(1) 可得,此系統有唯一解,1 - 10,範例 6：使用回代法解列梯形形式的方程式系統,解：將 代入(2) 可得,再將 及 代入(1)得,此系統有唯一解,1 - 11,等價 (equivalent)若兩線性方程式系統的解集合完全相同，則稱此兩 線性方程式系統為等價,下列運算會產生兩個等價的線性方程式系統,(1) 兩方
4、程式互換,(2) 一方程式乘上一非零常數,(3) 一方程式的倍數加到另一方程式,1 - 12,範例 7：利用高斯消去法將線性方程式系統改寫成列梯形形式,解：,1 - 13,所以此系統的解為 (唯一解),1 - 14,範例 8：求解線性方程式系統(非一致性(矛盾)系統),解：,1 - 15,所以此線性方程式系統無解,1 - 16,範例 9：求解線性方程式系統(無限多組解),解：,1 - 17,則,令,所以此系統有無限多組解,1 - 18,摘要與復習 (1.1節之關鍵詞),linear equation: 線性方程式 system of linear equation: 線性方程系統 leadin
5、g coefficient: 領先係數 leading variable: 領先變數 solution: 解 solution set: 解集合 parametric representation: 參數化表示 consistent: 一致性(有解) inconsistent: 非一致性(無解、矛盾) equivalent: 等價,1 - 19,(4)對一方陣而言，元素a11, a22, , ann稱為主對角線 (main diagonal)的元素,1.2 高斯消去法與高斯-喬登消去法,mn 矩陣 (matrix),(3)若 ，則此矩陣稱為n階方陣(square of order n),注意：
6、,(1)矩陣中的每一個元素(entry)aij是一個數,(2)一m列n行的矩陣的大小(size)為mn,1 - 20,範例 1： 矩陣 大小,注意：矩陣最常用的方式是用來表示線性方程式系統,1 - 21,m個方程式n個變數的線性方程式系統,以矩陣方式表示為,1 - 22,增廣矩陣 (augmented matrix)係數矩陣 (coefficient matrix),1 - 23,三個基本列運算 (elementary row operation),(1)兩列互換,(2)一列乘上一非零常數,(3)一列的倍數加到另一列,列等價 (row equivalent),若一矩陣可由另一矩陣的一些基本列運
7、算來獲得，則此兩個矩陣稱為列等價,1 - 24,範例 2：(基本列運算),1 - 25,列梯形形式 (row-echelon form),(1)全部為零的列在矩陣最底下,(2)不全為零的列，其第一個非零元素為1，稱為領先1 (leading 1),(3)對兩相鄰的非零列而言，較高列之領先1出現在較 低列之領先1的左邊,列簡梯形形式 (reduced row-echelon form),(1) (3) 同上 (4)在領先1的那一行除了領先1以外的位置全部為零,1 - 26,範例 4：判斷下列矩陣為列梯形形式或列簡梯形形式,1 - 27,高斯消去法 (Gaussian elimination)將矩
8、陣化簡為列梯形形式的程序,高斯-喬登消去法 (Gauss-Jordan elimination)將矩陣化簡為列簡梯形形式的程序,注意：,(1) 每個矩陣只有一個列簡梯形形式,(2) 每個矩陣可以有很多種列梯形形式(不同的列運算會產生不同的列梯形形式),1 - 28,範例：高斯消去法與高斯喬登消去法之步驟說明,1 - 29,1 - 30,範例 7：用高斯-喬登消去法求解線性方程式系統(唯一解),解：,1 - 31,範例 8：求解線性方程式系統(無限多組解),解：,1 - 32,令,所以此系統有無限多組解,1 - 33,線性方程式的齊次系統 (homogeneous system),若一線性方程系
9、統的常數項均為零時，則此系統為齊次系統,1 - 34,顯然解 (trivial solution),非顯然解 (nontrivial solution)顯然解之外的其他解,注意：,(1) 所有的齊次系統均為一致性(consistent)系統,(2) 若系統的方程式比變數少，則有無限多組解,(3) 對於一個齊次系統來說，下列有一為真,(a) 系統只有一個顯然解,(b) 系統除了顯然解外還有無限多組解,(任意n變數齊次系統的解),1 - 35,範例 9：求解下列的齊次線性方程式系統,解：,令,1 - 36,摘要與復習 (1.2節之關鍵詞),matrix: 矩陣 row: 列 column: 行 e
10、ntry: 元素 size: 大小 square matrix: 方陣 order: 階 main diagonal: 主對角線 augmented matrix: 增廣矩陣 coefficient matrix: 係數矩陣,1 - 37,elementary row operation: 基本列運算 row equivalent: 列等價 row-echelon form: 列梯形形式 reduced row-echelon form: 列簡梯形形式 leading 1: 領先1 Gaussian elimination: 高斯消去法 Gauss-Jordan elimination: 高斯-喬登消去法 free variable: 自由變數 homogeneous system: 齊次系統 trivial solution: 顯然解 nontrivial solution: 非顯然解,
