四、三角函数

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1、概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结之三角函数 内江六中高 09 级数学备课组1第四章第四章三角函数三角函数 重点掌握重点掌握（1）熟练掌握函数 y=Asin(x+)（A0，0）的图象及其性质，以及图象的五点作图 法、平移和对称变换作图的方法. （2）利用单位圆、函数的单调性或图象解决与三角函数有关的不等式问题. （3）各类三角公式的功能：变名、变角、变更运算形式；注意公式的双向功能及变形应 用；用辅助角的方法变形三角函数式. （4）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角（第五章学习） 【注意】近年的高考题中，三角函数主要考查基础知识、基本技能、基本方 法，一般都 在选择题与填空题

2、中考查，多为容易或中等难度的题目.其中，同角三角函数的 基本公式 和诱导公式，三角函数的图像和性质，求三角函数式的值等为考查热点. 知识过关知识过关 1.1.角的概念的推广角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图 形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角负角，一条 射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角零角。射线的起始位置称为始边始边，终止位置称为 终边终边。 2.2.象限角的概念象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴x 重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标

3、轴上， 就认为这个角不属于任何象限。 3.3. 终边相同的角的表示终边相同的角的表示： (1)(1)终边与终边相同。2()kkZ 注意注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. 例例 与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是_，合_弧度。1825（答：；）255 36(2)(2)终边与终边共线.()kkZ(3)(3)终边与终边关于轴对称.x2()kk Z(4)(4)终边与终边关于轴对称.y2()kkZ(5)(5)终边与终边关于原点对称.2()kkZ(6)(6)终边在轴上的角可表示为：；终边在轴上的角可表示为：x,kkZy；终边在坐标轴上的角可表示为：.,2kkZ,2kkZ例例 的终

4、边与的终边关于直线对称，则_。6yx（答：）2,3kkZ4 4.与与的终边关系的终边关系：由“两等分各象限、按一二三四排序”确定.2例例 若是第二象限角，则是第_象限角。 （答：一、三）2概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结之三角函数 内江六中高 09 级数学备课组25.5.弧长公式弧长公式：，扇形面积公式：，1 弧度(1rad).|lR211|22SlRR57.3例例 已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。 （答：2 ）2cm 6.6.任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异( , )x y于原点）

5、，它与原点的距离是，那么，220rxysin,cosyx rr，。三角函数值只tan,0yxxcotx y(0)y secr x0x csc0ryy与角的大小有关，而与终边上点 P 的位置无关。例例 1 1 已知角的终边经过点 P(5，12)，则的值为_。 （答：） ；sincos7 13例例 2 2 设是第三、四象限角，则的取值范围是_。 （1，） ；23sin4m mm3 2例例 3 3 若，试判断的符号_。 （答：负）|sin|cos0sin|cos| cot(sin) tan(cos)7 7.三角函数线的特征三角函数线的特征是：正弦线 MP“站在轴上(起点在轴xx 上)” 、余弦线 O

6、M“躺在轴上(起点是原点)” 、正切线 AT“站x 在点处(起点是)”.三角函数线的重要应用是比较三三角函数线的重要应用是比较三(1,0)AA 角函数值的大小和解三角不等式角函数值的大小和解三角不等式。例例 1 1 若，则的大小关系为08sin ,cos ,tan_。 (答：)；tansincos 例例 2 2 若为锐角，则的大小关系为_ 。,sin,tan （答：） ；sintan 例例 3 3 函数的定义域是_。12coslg(2sin3)yxx（答：）2(2,2()33kkkZ8.8.特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值：3045600901802701575sin1 22 23 201

7、0162 462 4cos3 22 21 2101062 462 4tan3 313002-32+3y T A x B S O M P 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结之三角函数 内江六中高 09 级数学备课组3cot313 3002+32-39.9. 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：222222sincos1,1tansec,1cotcsc （2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：sincostan,cotcossin同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它 三角函数值。

8、在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能 地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的 基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此 三角函数值的绝对值。例例 1 1 函数的值的符号为_.（答：大于 0） ；sintan coscoty 例例 2 2 若，则使成立的的取值范围是_.022x21 sin 2cos2xxx（答：） ；0,43,4 例例 3 3 已知，则_.（答：） ；3sin5m m42cos()52m mtan5 12例例 4 4 已知，则_；_。tan1tan1 sin3cos sinco

9、s 2sinsincos2（答：；） ；5 313 5 例例 5 5 已知，则等于（ B ） sin200atan160A、 B、 C、 D、 21aa 21aa21a a21a a例例 6 6 已知，则的值为_。 （答：1） 。(cos )cos3fxx(sin30 )f10.10.三角函数诱导公式（三角函数诱导公式（）的本质是：奇变偶不变奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数）2kkk，符号看象限符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）. 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤： （1）负角变正角，再写成 2k+,；（2）转化为锐角三角函数。02 ,kz例例 1 1的值为_（答：）

10、 ；97costan()sin214623 23例例 2 2 已知，则_，若为第二象限角，则4sin(540)5 cos(270 )_。 （答：；）2sin(180)cos(360 ) tan(180) 4 53 1001111、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sinsincoscossinsin22sincos 令概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结之三角函数 内江六中高 09 级数学备课组42222222coscoscossinsincos2cossin2cos112sin tantan1+cos2tancos1tantan2 1

11、 cos2sin2 2tantan21tan 令例例 1 1 下列各式中，值为的是（ C ）1 2A、 B、 C、 D、 sin15 cos1522cossin12122tan22.5 1tan 22.51cos30 2例例 2 2 命题 P：，命题 Q：，则 P 是 Q 的（ C ）tan()0ABtantan0AB A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件例例 3 3 已知，那么的值为_。 （答：） ；3sin()coscos()sin5cos27 25例例 4 4的值是_。 （答：4）13 sin10sin80例例 5 5 已知，求的值（用 a 表示

12、）甲求得的结果是，乙求得的结0tan110a0tan50313aa果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是_。 （答：甲、乙都对）21 2a a12.12.三角函数的化简、计算、证明的三角函数的化简、计算、证明的恒等变形恒等变形的基本思路的基本思路是：一角二名三结构。即首先观 察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！角的变换是三角函数变换的核心！第二 看函数名称之间的关系，通常“切化弦” ；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有基本的技巧有: : 技巧技巧 1 1 巧变角巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换

13、. 如，()()2()()，等。2()()22222例例 1 1 已知，那么的值是_。 （）2tan()51tan()44tan()43 22例例 2 2 已知，且，求的值。021cos()29 2sin()23cos()（答：）239 729例例 3 3 已知为锐角，则与的函数关系为, sin,cosxy3cos()5 yx_。 （答：）23431(1)555yxxx 技巧技巧 2 2 三角函数名互化三角函数名互化(切割化弦)概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结之三角函数 内江六中高 09 级数学备课组5例例 1 1 求值 （答：1）sin50 (13tan10 )例例 2 2 已知，求的值。 （答：）sincos21,tan()1 cos23 tan(2 )1 8技巧技巧 3 3 公式变形使用公式变形使用（tantantan1tantan例例 1 1 已知 A、B 为锐角，且满足，则_。 （答：tantantantan1ABABcos()AB）2 2例例 2 2 设中，则此三角形是_ABCtantan33tantanA