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1、数 理 经 济 学第四章第（1）部分,第一部分主要内容：,1、微分方程的定义 2、可分离变量的微分方程 3、齐次方程 4、一阶线性微分方程 5、伯努利方程 6、全微分方程 7、二阶线性微分方程 8、二阶常系数齐次线性微分方程 9、二阶常系数非齐次线性微分方程 10、欧拉方程 11、常系数线性微分方程组,解,一、微分方程的定义 1、问题的提出,微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,2、微分方程的定义,微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之.,分类1: 常微分方程, 偏微分
2、方程.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2:,分类3: 线性与非线性微分方程.,分类4: 单个微分方程与微分方程组.,微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.,微分方程的解的分类：,3、主要问题-求方程的解,(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.,解的图象: 微分方程的积分曲线.,通解的图象: 积分曲线族.,初始条件: 用来确定任意常数的条件.,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.,解,所求特
3、解为,补充:,微分方程的初等解法: 初等积分法.,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),二、可分离变量的微分方程 1、定义,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,例 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,2、典型例题,分离变量法步骤:,1、分离变量;,2、两端积分-隐式通解.,小结,三、齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义,例 求解微分方程,微分方程的解为,解,小结,齐次方程,齐次方程的解法,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,四、一阶线性微分方程,例如,线性
4、的;,非线性的.,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2. 线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,五、伯努利方程,解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.,求出通解后，将 代入即得,代入上式,解,例,小结,1.齐次方程,2.线性非齐次方程,3.伯努
5、利方程,六、全微分方程及其求法,1.定义:,则,若有全微分形式,例如,全微分方程 或恰当方程,所以是全微分方程.,2.解法:,应用曲线积分与路径无关.,通解为, 用直接凑全微分的方法.,全微分方程,解,是全微分方程,原方程的通解为,例1,2、积分因子法,定义:,问题: 如何求方程的积分因子?,1.公式法:,求解不容易,特殊地:,2.观察法:,凭观察凑微分得到,常见的全微分表达式,可选用的积分因子有,解,例3,则原方程为,原方程的通解为,(公式法),可积组合法,一阶微分方程小结,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程,七、二阶线性微分方程,2、线性微分方
6、程解的结构,1.二阶齐次方程解的结构:,问题:,例如,线性无关,线性相关,特别地:,例如,2.二阶非齐次线性方程的解的结构:,解的叠加原理,3、降阶法与常数变易法,（1）齐次线性方程求线性无关特解-降阶法,代入(1)式, 得,则有,解得,刘维尔公式,齐次方程通解为,降阶法,的一阶方程,（2）非齐次线性方程通解求法-常数变易法,设对应齐次方程通解为,(3),设非齐次方程通解为,设,(4),(5),(4),(5)联立方程组,积分可得,非齐次方程通解为,解,对应齐方一特解为,由刘维尔公式,对应齐方通解为,例,设原方程的通解为,解得,原方程的通解为,小结,主要内容,线性方程解的结构；,线性相关与线性无
7、关；,降阶法与常数变易法；,补充内容,可观察出一个特解,八、二阶常系数齐次线性微分方程 1、定义,n阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,2、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根, 有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为, 有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为, 有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例,3
8、、n阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,注意,n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.,特征根为,故所求通解为,解,特征方程为,例,小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,(见下表),二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,九、二阶常系数非齐次线性微分方程 1、 型,设非齐方程特解为,代入原方程,综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,特别地
9、,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例,利用欧拉公式,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取虚部）,例,小结,(待定系数法),只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.,解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.,十、欧拉方程,特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同,作变量变换,将自变量换为,上述结果可以写为,一般地，,例,求欧拉方程,的通解,解,作变量变换,原方程化为,即,或,(1)
10、,方程(1)所对应的齐次方程为,其特征方程,特征方程的根为,所以齐次方程的通解为,设特解为,代入原方程，得,所给欧拉方程的通解为,小结,欧拉方程解法思路,变系数的线性微分方程,常系数的线性微分方程,变量代换,注意：欧拉方程的形式,十一、微分方程组,微分方程组 由几个微分方程联立而成的方程组称为微分方程组,注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几个具有同一自变量的函数,常系数线性微分方程组 微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线性微分方程组,步骤:, 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程,2、常系数线性微分方程组的解法,解
11、此高阶微分方程,求出满足该方程的未知函数.,把已求得的函数带入原方程组,一般说来，不必经过积分就可求出其余的未知函数,例 解微分方程组,由(2)式得,设法消去未知函数 ，,解,两边求导得，,把(3), (4)代入(1)式并化简, 得,解之得通解,再把(5)代入(3)式, 得,原方程组的通解为,解之得通解,再把(5)代入(3)式, 得,原方程组的通解为,例 解微分方程组,解,类似解代数方程组消去一个未知数,消去,(),(),(),即,非齐线性方程,其特征方程为,解得特征根为,易求一个特解,于是通解为,(),将()代入()得,方程组通解为,注意：在求得一个未知函数的通解以后，再求另一个未知函数的通解时，一般不再积分,小结,注意求出其中一个解，再求另一个解时，宜用代数法，不要用积分法避免处理两次积分后出现的任意常数间的关系,注意微分算子D的使用；,
