函数与导数专题分析

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1、1 函数与导数专题分析函数与导数专题分析 漳州普教室 许耀德 函数与导数专题，是中学数学中最重要的主干知识，其观点及其思想方法， 贯穿整个高中数学教学的全过程，是历年来高考考查力度最大的主干知识。 考纲对本专题的考查内容及要求除了理科多了“能求简单的复合函数 （仅限于形如 f(ax+b)的复合函数）的导数”及“.了解定积分的实际背景， 了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。.了解微积分的基本定理的含义。 ”外，其余要求文理两科相同。因此，从考纲要求来讲，理科要求高于文 科要求。历年来高考对本专题考查涉及到所有题型（选择，填空，解答） 。除了 单独考查函数与导数的题目外，往往在每个题目上涉及函

2、数与其他内容的综合 考查。在解答题方面，函数与导数往往作为压轴题出现。因此本专题的高考复 习必须给予足够的重视。 一.2010 年高考“课标卷”对本专题的考查情况 1 在 2010 年高考中，全国“课标卷”对本专题知识点考查情况如下： 函数概念及新定义概念被考查频率为 6；函数图象被考查频率为 11；单调 性被考查频率为 20；奇偶性被考查频率为 6；指数函数被考查频率为 18；对数 函数被考查频率为 20；幂函数为 9；一次函数为 7；二次函数为 19；反比例函 数为 4；函数与方程为 9；函数模型应用为 5；导数几何意义为 8；导数的应用 为 22；导数的运算为 3；定积分为 4。 与本专

3、题联合考查的其他专题的主要知识点情况如下：与逻辑用语联合考 查频率为 6；数列为 3；不等式解法为 10；不等式证明为 15，曲线的切线方程 为 8；图形的平移与对称为 6；合情推理为 2；三角函数与向量为 3；几何概型 与随机模拟实验为 1。 从这些数据不难看出，本专题几乎所有知识都被考查到。重点考查内容有： 指.对数函数，幂函数，二次函数，单调性，导数的应用。被联合考查的其他专 题的知识点主要有：逻辑用语，数列，不等式解法及证明，解析几何中的曲线 的切线方程，定值问题，图形平移与对称，合情推理，三角函数与向量，几何 概型与随机实验等。其中重点是不等式，尤其是不等式的恒成立问题时参数取 值范

4、围及最值问题。考题注重函数与导数的综合应用，在数学思想方法上作较 2 深入的考查。涉及的基本数学方法有：建模法，消元法，代入法，图象法， 坐 标法，比较法，配方法，待定系数法，公式法，换元法，因式分解，平移等。 涉及的主要数学思想有函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想，分 类与整合思想，整体思想，极端化思想，建模思想。 在每套“课标卷”中，有关本专题内容试题所占比重都较大。一般在 24 分 的分值左右，如果含联合考查知识点，一般都在 50 分左右，如我省理科 2010 年卷，本专题内容有 2 道选择+1 道填空+1 道解答，分值 28 分，如果含联合考 查知识点有 51 分。 二、主要

5、题型分析 例 1（2010 福建理 4）函数 的零点个数为（ ） x xx xf ln2 32 )( 2 0 0 x x A、0B、1C、2D、3 分析：作出的图象示意图，立马选 C)(xf 例 2（2010 福建理 10）对于具有相同定义域 D 的函数和，若存在函)(xf)(xg 数 （为常数） ，对位给的正数 m，存在相应的,使得当bkxxh)(bk、Dx 0 ，且时总有，则称直线 ：为曲线Dx 0 xx mxgxh mxhxf )()(0 )()(0 lbkxy 与的“分渐近线” 。给的定义域均为的四组函数如)(xfy )(xgy 1xxD 下： 1、 2、xxgxxf)(,)( 2 x

6、 x xgxf x 32 )(, 210)( 3、 4、 x xx xg x x xf ln 1ln )(, 1 )( 2 )1(2)(, 1 2 )( 2 x exxg x x xf 其中曲线与存在“分渐近线”的是)(xfy )(xgy A、 B、 C、 D、 分析：题目条件涵义是： 必须满足且)()()(xxhxf)(x0)(x ( )0 lim x x 其中 )()()(xxhxg且0)(x( )0 lim x x 3 注意到： ，满足要 2 x xf) 10 1 (2)()(x x ) 10 1 ( x xg 3 2)( x x 3 )( 求 ， 4 1 1 ) 1(2)( x xxf

7、 1 1 )( x x x exxg 2) 1(2)( 满足要求，故选 C x ex 2)( 例 3（2010 福建理 15）已知定义域（0，）的函数满足：对任意 1 恒有成立，当时，给出如下结论：), 0( x)(2)2(xfxf 2 2 , 1x,2)(xxf 对任意，有；函数的值域为，存在 1 zm0)2( m f 2 )(xf), 0( ，“函数”的充要条9) 12( n fzn，使得）上单调递减，在区间（baxf)( 件是“存在”其中所有正确结论的序号是 ），（），使得（ 1k 22 k bazk 。 分析：由，易得，从而知除), 0( x)(2)2(xfxfxxf k 1 2)(

8、1k 22 ， k x 不正确外，其余均正确。 例 4（2010 全国课标卷理 13）设为区间上的连续函数，且恒有)(xfy 10， ，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组1)(0xfdxxf)( 1 0 N 个）区间0，1上的均匀随机数和由此得到 N 个, 21N xxx，, 21N yyy， 点（） （ =1，2，N） ，在数为其中满足的点 ii yx，i)N, 2 , 1)(ixfy ii 数，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为 i Ndxxf)( 1 0 分析：的意义。为计算由曲线，由 x=0，x=1 及 x 轴围成的曲dxxf)( 1 0 )(xfy 边形的面积，此面积

9、含于正方形中，根据几何概型含义得 10 10 y x ，即。 N N S dxxf 1 1 0 )( 正方形N N dxxf 1 1 0 )( 例 5、 （2010 江苏 20）设是定义在区间上的函数，其导函数为.如)(xf, 1)( xf 果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得a)(xh)(xh), 1 ( x)(xh ，则称函数具有性质.) 1)()( 2 axxxhxf)(xf)(aP 4 (1)设函数，其中为实数)(xf) 1( 1 2 )( x x b xhb 求证：函数具有性质)(xf)(bP 求函数的单调区间)(xf (2)已知函数具有性质，给定)(xg)2(P为实数，设mx

10、xxx,), 1 (, 2121 ，且，若|g(x2)-g(x1)0,不符题意。 所以，即 21 xx 221 211 )1 ( )1 ( xmxxm xmmxx 解得 m0，所以， 21 xax 221 211 )1 ( )1 ( xxmmx mxxmx 2 1 0 m 综上 m 取值范围是（0， 2 1 评：（2）问中解题关键是讨论、是在区间（x1，x2）外与内的问题。a 例 6（2010 福建理 20） （）已知函数，. 3 ( )-f xxx其图象记为曲线C （i）求函数的单调区间；( )f x （ii）证明：若对于任意非零实数，曲线 C 与其在点处的切线交 1 x 111 ( ,()

11、P xf x 于另一点，曲线 C 与其在点处的切线交于另一点， 222 (,()P xf x 2 P 333 (,()P xf x 线段与曲线所围成封闭图形的面积分别记为则为定值； 1223 ,PP P PC 12 ,S S 1 2 S S （）对于一般的三次函数请给出类似于（） 32 ( )(0),g xaxbxcxd d （ii）的正确命题，并予以证明. 分析：（）的（i）简单而常规，易得增区间为（）和（） ， 3 3 ，, 3 3 单调减区间为（） 。 3 3 3 3 ， （ii）由于均为曲边形面积，必须用定积分求解，所以由 C 在点的切 21 ss， 1 p 线方程，联立 C 的方程求

12、得 ， 1 3 11 2 1 )(13(xxxxxy)( 222 xfxp， 进而，用代替，重复上述计算 12 2xx 4 1 3 1 2 1 32 1 4 27 )23( 1 1 xdxxxxxs x x 2 x 1 x 过程，就得到，所以。 4 22 4 27 xs 16 1 4 2 4 1 2 1 x x s s （）注意到（） （ii）中条件非零意指点不能取的对称 1 x)( 111 xfxp，)(xf 中心（即拐点） ，故类比时也应不能取对称中心。 令，得，故类比命题为：若对作意不等于的026)( baxxg a b x 3 0 a b 3 实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线

13、 1 x C )( 111 xgxp，)( 222 xgxp， 与其在点 P2处的切线交于另一点，线段 P1P2，P2P3与曲线所 C )( 333 xgxp， C 6 围成封闭图形的面积分别记为，则为定值。 21 ss， 2 1 s s 证明方法可用类似（） （ii）的计算，也可先平称、对称中心为原点，再计算。 评注：本题的 I(ii)及(II)的要求有超纲之嫌。 理由如下：定积分的考查要求仅在了解层次，了解定积分的实际背景，基 本思想，定积分的概念，微积分基本定理的含义，对积分运算并未涉及，而 I(ii)的考查对定积分运算上，下限均带参数，且必须先通过计算两参数关系才 可能得到结果，大大超

14、过考纲 ， 省考试说明的要求。在(II)的类比推理 中，对学生而言如何想到， （即三次曲线对称中心）这与我省教学实际 1 3 b x a 不符。在考纲及省考试说明中均未见要求三次函数曲线的对称中心。 故（II）也有超纲要求。 三本专题的复习建设 从一，二分析，我们可看出，本专题是一个极其重要内容。在高考试卷， 一般三种题型均有出现。所占的比例也比较大。我们建议在本专题复习中，应 该注意如下几个方面： 1.对函数概念的复习要“到位而不越位” ，求函数的解析式，定义域，零点， 值域，一般出现在客观题中，属于中、低档题，因此复习时不宜拓展。特别是 反函数问题。 考纲及说明仅对同底指，对数函数关系提出

15、这个概念。没 有给出一般意义的反函数定义，故不宜拓宽要求。 2.对基本函数与函数性质的复习要全面而突出重点。并注重横向联系。历 年来高考中考查对函数知识的应用。既着眼于知识点的新颖巧妙组合，又关注 对数学思想方法的考查。试题多数围绕函数的概念，性质，图象等方面命题。 围绕二次函数，分段函数，指.对数函数等几个基本函数来进行，故在复习中， 应该全面夯实基础，突出对上面所讲重点内容的复习。另外，对函数性质单调 性，奇偶性，周期性和图象对称性等内容的考查，多以组合形式，一题多角度 考查，尤其是利用导数解决函数的单调性与极值，最值问题，不等式问题，函 数与方程的联系等重点考点。考查力度还有可能加大。而函数题的综合趋势几 乎涉及所有模块，但重点还是在与不等式综合。在解答题中，对函数性质的考 7 查要求有所提