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1、关于等比数列的一个性质及其应用关于等比数列的一个性质及其应用 在解关于等比数列的题目时,若能充分利用等比数列的相关性质,往往能够 起到简化运算的作用.本文介绍一个关于等比数列的简单性质,利用它,能够简化 一类题目的运算. 命题命题 设等比数列的公比,若也是等比数列,则. n a1qcan0c 证明证明: 因为为等比数列,则对任意的,有can2,nNn (1)()( 11 2 cacaca nnn 因为是等比数列,所以 n a (2) 11 2 nnn aaa 由(1)(2)两式易得:.0) 1( 2 1 qcan 因为,所以.01, 0 1 qan0c 下面举例说明命题的应用. 例例 1 (2
2、000 年数学高考理科试题) (1)已知数列,其中,且数列为等比数列,求常数; n c nn n c32 1nn pcc p (2)设是公比不相等的两个等比数列,证明数列不, nn ba nnn bac n c 是等比数列. 解：解： (1), nn nn pppcc3 )3 (2)2( 1 当时,为等比数列;2p n nn pcc3 1 当时，=,因为数列为等比数2p n nn pcc 3 1 )3() 3 2 )(2(pp n 1nn pcc 列,所以是等比数列,由命题可知,即 3 1 n nn pcc 3 1 n nn pcc 为等比数列的充要条件是即.)3() 3 2 )(2(pp n
3、 , 03 p3p 综上可知,=或 .p23 (2)因为是公比不相等的两个等比数列,则是公比不为 1 的等, nn ba n n b a 比数列. 假设是等比数列,则也是等比数列,而由命题知即为 n c n n b c n n b c 1 n n b a 等比数列的充要条件是 1=0,矛盾.所以不是等比数列. n c 例例 2 设各项都不相同的等比数列的第一项为,公比为,前项和为 n aaqn ,要使数列为等比数列,求 P 的值。 n S n SP 解解： q qa PSP n n 1 )1 ( 1 q qa q a P n 1 ) 1 ( 11 因为是以为首项,以为公比的等比数列,又由题意知
4、,所以 q qa n 1 1 q qa 1 1 q1q 根据命题有为等比数列的充要条件是=0. n SP q a P 1 1 故. q a P 1 1 例例 3 记等比数列的前 n 项和为，是否存在常数 c，使对任何自然 n a n S 数 n，恒有？)()( 2 2 1 nnn ScScSc 解解：设的公比为 q，首项为 n a 1 a 当 q=1 时， 1 naSn 假设存在 c，使得 nN 时, .)()( 2 2 1 nnn ScScSc 即 11 2 1 )2()() 1(ancnacanc 整理得:,显然不成立.所以此时不存在 c 满足条件。)2() 1( 2 nnn 当 q1 时
5、，有成立，则成等比数列。)()( 2 2 1 nnn ScScSc n sc ， q qa q aqc q qa csc nn n 11 )1 ( 1 )1 ( 111 且与为等比数列。 1 1n q q a n Sc 根据是等比数列的充要条件是=0 q qa q aqc n 11 )1 ( 11 q aqc 1 )1 ( 1 即 又 0)1 1 aqc（1q 1 1 q a c 所以，存在常数，使对任何自然数 n，恒有 1 1 q a c 。)()( 2 2 1 nnn ScScSc 例例 4（95 高考，理）设是由正数组成的等比数列，是其前 n 项和。 n a n S 证明：。 1 2 l
6、g 2 lglg n nn S SS 是否存在常数 c，使得成立？并0)lg( 2 )lg()lg( 1 2 cS cScS n nn 证明你的结论。 分析：首先可将中的 对数不等式，中的对数式等价转化为不含对数 的不等式和等式，即， 1 2 lg 2 lglg n nn S SS 2 12 nnn SSS ，且)lg( 2 )lg()lg( 1 2 cS cScS n nn 2 12 )()(cScScS nnn cSn 本文不讨论第一个问题。 （第二个问题对比例 3，实质上是一个问题，所以可借鉴例三的证明方法 得出结论，即不存在正的常数 c 使成立。)lg( 2 )lg()lg( 1 2 cS cScS n nn ） 由例三可得 c=这时，c0,有 0，但 0时 q a 1 1 , 0 1 a1 q1 q ，不满足条件。0 11 11 q qa q a S n n cSn
