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1、专题复习专题复习 最值问题（三）最值问题（三）教学目标知识与技能：利用代数知识如函数、不等式等来解决数学中跟数量有关的最值问题.过程与方法：让学生亲身经历将实际问题“数学化”的过程,学会应用代数知识去分析问题,解决问题,情感态度与价值观：通过让学生参与自主探索的过程,培养学生主动学习的态度,科学探索的精神和创新能力,教学难点：将数学中的最值问题转化为的函数问题.教学重点：利用如函数、不等式等知识来解决数学中跟数量有关的最值问题.教学过程一 引入如图 4-1，直角梯形纸片 ABCD，ABCD，ADAB，AB=8，AD=CD=4，点 E、F 分别在线段 AB、AD 上，将AEF 沿EF 翻折，点
2、A 的落点记为 P当 P 落在直角梯形 ABCD 内部时，求 PD 的最小值先将点 E 暂时固定，设 EA=x，由于点 P 总满足 PE=AE，因此点 P 总在以点 E 为圆心 EA=x 为半径的圆上，而DEAE，所以点 D 在圆外，当 P 是圆与线段 DE 的交点时（此时必能保证点 P 落在直角梯形内部） ，线段 PD 的长相对于点 E 取得最小值，这个最小值为，再调整点 E 位置，即让 x 变化，显然 x 越221616 16xx xx 大，越小，故当 x=AB=8 时 PD 最小 21616xx解：如图 4-2，当点 E 与点 B 重合， D、P、E 三点共线时 PD 的最小值=DB-P
3、B=4 58对于一些复杂的图形在找最值时也可通过建立函数关系利用函数的性质求解二 例题例 1 已知直线，P 是抛物线上的动点，求 P 到直线的距离最短时的点 P 的坐标22yx2yx22yx解：如图 8，做直线 PMx 轴交抛物线于 P,交直线 y=2x-2 于 M,作 PQ直线 y=2x-2 于 Q，当 PM 最小时，PQ 最短PM=222 xx112x当 x=1 时 PM 最小将 x=1 代入可得 y=12xy 点 P 的坐标为（1，1） 设计意图：跟函数图像有关的最值问题常常需要先做出函数图像，然后进行分析把问题转化为二次函数的最值问题求解.例 2 已知 a、b、c 为非负数，且 求32
4、5,21,abcabccbam73的最大值和最小值解： 解得： . 12, 523cbacba77,56acab,0, 0cbaQ561077 , 056aaa= cbam73777563aaa5551 a4,531的最大值的最小值mm设计意图：先将问题转化成我们学过的函数，然后再利用条件找到自变量的取值范围，根据函数的性质求出最值例 3 某旅游商品经销店欲购进 A、B 两种纪念品，若用 380 元购进 A 种纪念品 7 件，B 种纪念品 8 件；也可以用 380 元购进 A 种纪念品 10 件，B 种纪念品 6 件。若该商店每销售 1 件 A 种纪念品可获利 5 元，每销售 1 件 B种纪念
5、品可获利 7 元，该商店准备用不超过 900 元购进 A、B 两种纪念品 40 件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于 216 元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？解：(1)设 A、B 两种纪念品的进价分别为 x 元、y 元.由题意， .380610,38087yxyx解之，得 .30,20yxA、B 两种纪念品的进价分别为 20 元、30 元(2)设商店准备购进 A 种纪念品 a 件，则购进 B 种纪念品(40-a)件，由题意，得 .216)40(75,900403020aaaa解之，得：3230 a总获利是 a 的一次函数，且 w 随 a 的增大而减小,2802)40(75
6、aaaw当 a=30 时，w 最大，最大值 w=-230+280=22040-a=10应进 A 种纪念品 30 件，B 种纪念品 10 件，才能使获得利润最大值是 220 元设计意图：实际问题的最值常常需要我们建立函数关系，然后利用函数的性质去求解三 练习1 已知实数满足 ，则的最小值为（ ）abc，222222122abbcca，abbccaABCD5 21321 21322 已知实数 x 和 y 满足 ，则 x+2y 的最大值= 54y2xx23 如图，平行四边形 ABCD 中， AB=4，BC=3，BAD=120，E 为 BC 上一动点（不与点 B 重合） ，作 EFAB 于 F, EF
7、、DC 的延长线交于点 G，设 BE=x，DEF 的面积为 S(1) 求证：；BEFCEG(2) 求用表示 S 的函数表达式，并写出的取值范围；xx(3) 当 E 运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少？4 某商场经营一批造价为 2 元的小商品，在市场营销中发现，此商品的日销售单价 x（元）与日销售量 y(件)之间有如下表所示的关系：(1)猜测并确定日销售量 y（件）与日销售单价 x（元）之间的函数关系式；(2)设经营此商品的日销售利润（不考虑其它因素）为 P 元，根据日销售规律：试求日销售利润 P 元与日销售单价 x 元之间的函数关系式，并求出日销售单价 x 为多少元时，才能获得最大日销售
8、利润？5 某运输公司用 10 辆相同的汽车将一批苹果运到外地，每辆汽车能装 8 吨甲种苹果，或 10 吨乙种苹果，或11 吨丙种苹果公司规定每辆车只能装同一种苹果，而且必须满载已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100 吨，且每种苹果不少于一车(1)设用 x 辆车装甲种苹果，y 辆车装乙种苹果，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；(2) 若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示：设此次运输的利润为 W（万元） ，问：如何安排车辆分配方案才能使运输利润 W 最大，并求出最大利润参考答案：1.C 2. 293. （1）证明略；（2）由（1）为中边上的高，DGDEFEF在中，
9、RtBFE60B o3sin2EFBEBx在中，RtCEG3CEx3(3)cos602xCGxo，11 2xDGDCCG，其中21311 3 288SEF DGxx 03x（3），对称轴，当时，随的增大而增大，308a Q11 2x 03xSx当，即与重合时，有最大值3x ECS3 3S最大ACBDEF4. （1）y=-2x+4（2）；当 x=7 时，利润最大482822xxP5 . （1） ，81011(10)100xyxy y 与 x 之间的函数关系式为 310yx y1，解得 x3 x1，1，且 x 是正整数，10xy 自变量 x 的取值范围是 x =1 或 x =2 或 x =3（2）
10、80.22 100.21 11(10) 0.20.1421Wxyxyx 因为 W 随 x 的增大而减小，所以 x 取 1 时，可获得最大利润，此时（万元） 20.86W 获得最大运输利润的方案为：用 1 辆车装甲种苹果，用 7 辆车装乙种苹果，2 辆车装丙种苹果四 总结本节课就是利用函数的性质和不等式的知识来求解跟数量有关的最值问题，通常这类问题我们都是通过利用二次函数的最值或者利用不等式先求得一次函数的自变量取值范围再利用一次函数的性质求得问题的最终结果。五 反思本节课重在引导学生把解跟数量有关的最值问题转化为函数的最值问题，使学生理清解决这类问题的基本思路，体会解决这类问题中的转化思想和数形结合思想。
