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1、第八章 位移法,已有的知识：,（2）静定结构的内力分析和位移计算；,（1）结构组成分析；,（3）超静定结构的内力分析和位移计算,力法。,已解得如下单跨 超静定梁的结果:,8-1 概述,用力法计算，9 个基本未知量,如果用位移法计算, 1个基本未知量,力法计算太困难了！,1个什么样的基本未知量?,8-1 概述,位移法：以结点的位移(角位移和线位移）为基本未知量, 运用结点或截面的平衡条件建立位移法方程求出未知位移利用位移与内力之间确定的关系计算相应的内力。,力法与位移法是计算超静定结构的两种基本方法。,力法：以未知力为基本未知量,运用位移协调条件建立力法方程,求出未知力,计算出全部的内力和相应的
2、位移。,在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间存在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。,一、位移法的提出(Displacement Method),8-1 概述,位移法主要是由于大量高次超静定刚架的出现而发展起来的一种方法。由于很多刚架的结点位移数远比结构的超静定次数少，采用位移法比较简单。,结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移。力 法：六个未知约束力。位移法：一个未知位移（B）。,8-1 概述,三次超静定图示刚架,力 法：三个未知约束力。,位移法：一个未知位移（B）。,8-1 概述,位移法的基本假定：,（1）对于受弯杆件，只考虑弯曲变形，忽略轴向变形和剪切变形的影响。,（
3、2）变形过程中，杆件的弯曲变形与它的尺寸相比是微小的（此即小变形假设），直杆两端之间的距离保持不变。,注意：上述变形假定不是必要的，这样做仅仅是为了减少基本未知量，简化计算。,力法与位移法必须满足的条件：,1. 力的平衡; 2. 位移的协调; 3. 力与位移的物理关系。,8-1 概述,将原结构视为两个单跨超静定梁的组合。各杆的杆端弯矩为：,（8-1）,二、位移法思路,B为位移法基本未知量（规定顺时针转向为正）。,由变形协调条件知，各杆在结点B 端有共同的角位移B。,8-1 概述,考虑结点B的平衡条件,将（8-1）代入式（8-2）得,于是,（8-2）,由MB=0，,有,将B 回代入公式 (8-1
4、) 则各杆的杆端弯矩即可确定。然后可利用叠加法作出原结构的弯矩图。再利用平衡条件作出剪力图和轴力图。,8-1 概述,位移法思路：,1、设定某些结点的位移为基本未知量，取单个杆件作为计算的基本单元；,2、将单个杆件的杆端力用杆端位移表示, 而各杆端位移与其所在结点的位移相协调；,3、由平衡条件求出基本位移未知量，由此可求出整个结构（所有杆件）内力。,8-1 概述,提出问题：,1、单跨超静定梁在杆端发生各种位移、荷载、温度等因素作用下的内力。(用力法可以求得),2、哪些结点的位移作为基本未知量。,3、如何确定基本未知量。,8-1 概述,本节主要解决单跨超静定梁在荷载、温度改变和支座移动共同作用下单
5、跨梁的内力结果。,8-2 等截面直杆的转角位移方程,(2)杆件转角以顺时针为正,反之为负。杆件两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移AB（侧移）以使杆件顺时针转动为正,反之为负。,位移法中杆端内力、杆端位移符号规定：,(1) 杆端弯矩以顺时针为正,反之为负。对结点或支座而言,则以逆时针方向为正。弯矩图仍画在杆件受拉纤维一侧。剪力的规定同前.,8-2 等截面直杆的转角位移方程,取简支梁基本结构,1. 先求杆端位移引起的弯矩,作出 、 、 （略）,解出,8-2 等截面直杆的转角位移方程,其中：,称杆件的线刚度。,转角位移方程(刚度方程) Slope-Deflection (Stiffness) Equ
6、ation,荷载等外因引起的弯矩成为固端弯矩，同样可用力法求解，表示 ， 。,2. 荷载等外因引起的弯矩,由杆端位移及荷载等外因共同引起的弯矩为：,8-2 等截面直杆的转角位移方程,两端固定梁,一端固定、一端铰支梁,一端固定、一端定向支承梁,仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面尺寸、材料性质有关的常数，一般称为形常数。列于表(8-1) 。,用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基本结构为以下三种单跨超静定梁:,仅由荷载产生的杆端内力称为固端内力。列于表(8-1) 。,8-2 等截面直杆的转角位移方程,1、两端固定的等截面直杆,记荷载单独作用引起的杆端弯矩分别为 和 ，杆端剪力分别为
7、 和 。,两端固定等截面直杆的转角位移方程。,（8-2）,杆端弯矩的一般公式：,8-2 等截面直杆的转角位移方程,杆端剪力的一般为,由两端固定等截面直杆的转角位移方程可得到其他支撑的转角位移方程。,（8-3）,8-2 等截面直杆的转角位移方程,2、一端固定、一端铰支的等截面直杆,令式（8-2）的MBA=0,B 是A 和AB的函数，转角位移方程为,8-2 等截面直杆的转角位移方程,可见：杆端弯矩表达式实际上就是基本结构各杆在基本未知量和荷载共同作用下的弯矩的叠加公式，它已经把荷载和基本未知量的作用综合在一起了。,3、一端固定、一端定向的等截面直杆,令式（8-3）的FSBA=0,AB是A 和B的函
8、数，转角位移方程为,8-2 等截面直杆的转角位移方程,表8-1要求记忆的内容：,1,2,8-2 等截面直杆的转角位移方程,3,4,9、10、11、12、17 自己去画,8-2 等截面直杆的转角位移方程,结点角位移基本未知量数目=刚结点的数目。,注意：在忽略的直杆的轴向变形时，受弯直杆两端之间的距离保持不变。,一、位移法基本未知量的确定,铰结点处(包括铰支座处的铰结点)的角位移，在计算杆端弯矩时不独立，一般不选作基本未知量。,1. 独立的结点角位移和独立的结点线位移,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,2. 确定独立结点线位移的方法 观察法、换铰法。,结构有1个独立的线位移（Z3），2个独立的
9、结点角位移（Z1、Z2），共三个位移法的基本未知量。,观察法,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,只需增加一根链杆， 1个独立的线位移,对于不易观察的结构用换铰法。,先将原结构的每一个刚结点(包括固定支座)都变成铰结点，从而得到一个相应的铰结链杆体系。为保持该体系为几何不变所需增加链杆的最少数目就是原结构独立的结点线位移的数目。,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,位移法的基本未知量的数目为6个。,需注意：对于曲杆及需考虑轴向变形的杆件，变形后两端之间的距离不能看作是不变的。,需增加两根链杆， 2个独立的线位移。,结构有四个刚结点四个结点角位移。,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,思考
10、题：图示结构独立的结点线位移数目是几？,答：结点1和2的水平线位移都是独立的，独立结点线位移数目应为2。,默认状态: EI 不等于无穷大, EA 等于无穷大。,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,基本未知量: 结点1的转角Z1和水平线位移Z2。,二、位移法的基本结构,基本结构：对原结构添加一定数量的附加约束所得到的没有结点位移(铰结点的角位移除外) 的单跨梁的组合体。,1. 基本结构的概念,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,2. 基本结构的确定,2)附加链杆，只控制结点沿某一方向的移动，不控制结点转动。,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,（图b）,在确定基本结构的同时，也就确定了基本
11、未知量及其数目。,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,基本未知量，基本结构确定举例,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,基本体系是指基本结构在荷载和基本未知位移共同作用下的体系。,基本未知量结点B 转角B ，设其为Z1 。在结点B 附加刚臂得基本结构。,原结构,基本结构,一、位移法的基本方程,1. 无侧移刚架,基本体系,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,2) 人为给予结点B以转角B ,由于转角而引起附加约束的附加反力R11。,在基本结构上分别考虑：,基本体系,+,=,1) 荷
12、载引起的附加约束中的反力R1P。,由线形系统的叠加原理得到位移法基本体系.,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,设r11为单位转角Z1=1时附加约束反力矩，则 R11=r11Z1，将其代入公式（8-3）得,思考：基本体系与原结构有何不同？,原结构在结点B处并没有附加约束，因而也没有附加约束反力矩。,思考：如何使基本体系的受力和变形情况与原结构完全等价？,要使基本体系与原结构完全相等，必须要有R11+R1P=R1=0 即： R11+R1P=0 (-3）,R 的下标:第一个下标表示产生附加反力矩的位置，第二个下标表示产生附加反力矩的原因。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,r11Z1+R1P=0
13、 （-4）,-求解基本未知量Z1的位移法方程。,求系数 r11,作基本结构当位移 Z1=1 时的弯矩图（ 图）。,i=EI/l 称为该杆的线刚度。,取结点B为隔离体，由力矩平衡条件,得,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,求自由项R1P，作出基本结构在荷载作用时的弯矩图(MP图)。,利用力矩平衡条件MB=0， 得,注意：系数r11和自由项R1P的正负号规定它们都与 转角 Z1的正向一致时为正，即顺时针为正。,取结点B为隔离体,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,将系数r11和自由项 R1P代入位移法方程式（-4）有,得,叠加法绘制结构的弯矩图。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,2. 有侧移
14、刚架,图示刚架，在荷载作用下该刚架将发生虚线所示的变形。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,结点1的转角Z1和结点1、2的独立水平线位移Z2 。,(1) 基本未知量：,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,基本结构,(2) 基本方程 基本体系转化为原体系的条件为：附加约束上的反力R1=0、R2=0 。,基本体系,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,在小变形线弹性条件下，根据叠加原理可得,（-5）,第一式： 反应了结点1的矩平衡条件。,设Z1=1时附加刚臂的约束反力矩r11，附加链杆的约束力r21；Z2=1时附加刚臂的约束反力矩r12 ，附加链杆的约束力r22，则,8-4 位移法的典型方程及计算
15、步骤,将R11、R12、R21、R22 代入位移法方程式（-5）的得位移法典型方程(基本方程),（-6）,位移法典型方程的物理意义：基本结构在荷载和各结点位移共同作用下，各附加约束中的反力等于零,反映了原结构的静力平衡条件。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,rij表示基本结构仅在附加约束j发生单位位移Zj=1 时，在附加约束i上产生的约束力（或约束反力矩）。,二、位移法典型方程,（-）,对于具有n个独立结点位移的的结构,有n个基本未知量,可建立n个平衡方程，位移法典型方程,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,由刚度系数rij 组成的矩阵称为结构刚度矩阵。,rij 反映结构的刚度，称为刚度系数。rij = rji （由反力互等定理）。RiP 称为自由项，它表示在基本结构上仅有荷载作用时，在附加约束i上产生的约束反力或反力矩。,写成矩阵形式位移法方程也称刚度方程,（-）,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,(3) 求典型方程中的系数和自由项。,1）作基本结构单独在Z1=1作用时的弯矩图,取刚结点1为隔离体，由平衡条件得,继续求解,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,截取横梁12为隔离体，,取13杆为隔离体， 由M3=0, 有,得,由平衡条件得,注意：杆端剪力FS13可根据杆端弯矩求出。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,2) 作基本结构单独在Z2=1作用时的弯矩图 图,
