第二章函数

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1、1第二章第二章 函数函数 课标解读课标解读 一、函数 1.通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础 上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函 数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函 数. 3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 4.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合 具体函数,了解奇偶性的含义. 5.学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 二、幂函数通过实

2、例,了解幂函数的概念;结合函数的图像,了解21 32,1,xyxyxyxyxy它们的变化情况. 2.1 生活中的变量关系生活中的变量关系 知识结构梳理知识结构梳理 一、要点扫描一、要点扫描并非有 关系的两个变量都有 关系.只有满足对于其中一个变量的每一 个值,另一个变量都有 确定的值时,才称它们之间有函数关系. 答案: 依赖 函数 唯一 二、要点点拨二、要点点拨 1.依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系. 2.研究函数关系时，通常要指明自变量和因变量，因为两者交换位置不一定还存在函数 关系. 典型例题分析典型例题分析 例 1 某高速公路加油站的圆柱体储油罐如右图所示,油面宽度为

3、w,储油量为 V,若 w 和 V 有函数关系,则自变量( ) (A)是 V,不是 w (B)是 w,不是 V (C)是 V 也可能是 w (D)是 w 也可能是 V 分析 只有满足对于其中一个变量的每一个值,另一个变量都有唯一确定的值时,才称它们 之间有函数关系. 解 对于同一 w 值,有两种油面高度和它对应,于是可以有两种储油量 V 和它对应, 所以 V 不是 w 的函数;但当 V 确定时,油面高度唯一确定,从而油面宽度也随之确定,故生活中的变量关系函数关系依赖关系区别与联系w2w 是 V 的函数,故选 A. 点拨 研究函数关系时，通常要指明自变量和因变量，因为两者交换位置不一定还存在 函数

4、关系. 变式训练 写出函数关系式,并指出式中的函数与自变量. (1)周长为 20m 的长方形,求它的长 y 与宽 x 之间的关系; (2)计划用 200 元购买乒乓球,求所能购得的球的个数 w(个)与球的单价 n(元)的关系.解 (1),其中 x 是自变量,y 是 x 的函数;xy10(2),其中 n 是自变量,w 是 n 的函数.nw200例 2 某出租公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.当每辆车 的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆,若租出去的车每辆每月需要维护费 150 元,未 租出的车每辆每月需要维护费 50 元.试求每辆车的月租金

5、x(元)与出租车公司的月收益 y(元) 的关系.解 根据题意租金为 x 元时,每辆车所得收益为元,租出车辆数为辆,150x503000100x未租车辆数为辆.503000x列式为.)503000100(xy)150(x50503000x整理得. )3000(210001625012yxxy点拨 当变量之间关系较复杂时,可先将其分解成几个简单部分,然后按照题目要求组合成 一个整体. 变式训练 出租车收费按路程计算,2 千米(包括 2 千米)收费 3 元,超过 2 千米每增加 1 千 米加收 1 元,则路程时车费 y(元)与 x(千米)之间的函数关系式为 .2x答案 2, 1xxy课堂基础自测课堂

6、基础自测 1.6 支球队举行单循环赛,下列关系中是依赖关系而不是函数关系的有:排名与胜场; 排名与败场;球队与排名;胜场与败场.( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 2.弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度 y(cm)与物体的质量 x(kg)有下面的关系: x/kg012345678 y/cm1212.51313.51414.51515.516 那么,弹簧总长 y(cm)与所挂物体质量 x(kg)之间的函数关系式为( )(A) (B) (C) (D)125 . 0xy122 xy12 xy125 . 2xy3.某人从家去单位上班,先跑步,后步行,若 y 表示该人离单

7、位的距离, x 表示出发后的时间, 则下列图像中符合 y 与 x 函数关系的是( )(A) (B) (C) (D)0y0xyxO0y0xyxO0y0xyxO0y0xyxO34.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,其速度每秒增加 3m/s,到达坡底时,小球速 度达到 15m/s. (1)求小球速度 v(m/s)与时间 t(s)之间的函数关系式; (2)求几秒时,小球的速度为 12m/s. 5.星期天晚饭后,小红从家里出去散步,右图描述了她散步过程中离家的距离 s(m)与散步 所用时间 t(min)之间的函数关系.试用一段话描述小红的散步过程.6.某批发市场规定,批发苹果不少于 50 千克时,

8、批发价为每千克 2 元.小王带现金 200 元到 这个市场采购苹果,并且以批发价买进,设采购苹果 x 千克,小王剩余现金 y 元,求 y 与 x 之间的 函数关系式,并指出自变量的取值范围. 7.举出一个函数实例,满足在变量中, 是的函数,但不是的函数.yx,xyyx 2.2 对函数的进一步认识对函数的进一步认识 知识结构梳理知识结构梳理 一、要点扫描一、要点扫描1.函数的定义给定两个 A 和 B，如果按照某个对应关系，对于 A 中 ，在集合 Bf中都存在 与之对应，那么就把对应关系叫作定义在 A 上的函数，记作 f或 .其中,叫作自变量.Axx 2.函数的三要素,值域, . 3.区间的概念

9、(1)有穷区间的定义及表示定义名称符号数轴表示函数函数的表示法函数的概念解析式映射列表法图象法一一映射Os/m100300200400 0500t/min246810121614184 |x闭区间 |x开区间 |x半闭半开区间 |x半开半闭区间 (2)无穷区间的定义及表示定义符号|Rxx|axx|axx|axx|axx4.函数的表示方法 (1)列表法:用 的形式表示两个变量之间函数关系的方法. (2)图像法:用 把两个变量之间函数关系表示出来的方法. (3)解析法:用 的解析表达式(简称解析式)表示出来的方法. 5.映射两个集合 A 与 B 间存在着对应关系,而且对于 A 中的 元素,B 中总

10、有 的fx一个元素与它对应,就称这种对应为从 A 到 B 的映射,记作 .y 其中,A 中的元素称为 ,B 中的对应元素称为的 ,记作 .yx 6.一一映射 一一映射应同时满足以下三个条件: (1)A 中 元素在 B 中都有 与之对应; (2)A 中的不同元素的像也 ; (3)B 中的 都有原像. 有时,集合 A,B 之间的一一映射也叫作 .答案: 1.非空数集 任何一个数 唯一确定的数 2.定义x)(xfBAf:)(xfy 域 对应关系 3(1)第一行: ; 第二行: ; 第三行: bxa,babxa),(babxa; 第四行: (2) 4.(1) 表格 ),babxa,(ba),(),a)

11、,(a,(a),(a(2) 图像 (3) 自变量 5. 每一个 唯一 原像 像 6. 每一个 唯BAf:yxf:一的像 不同 每一元素 一一对应 二、要点点拨二、要点点拨xabxabxabxab51.函数的三种定义 (1)传统定义:在变化过程中,有两个变量和,如果给定一个值,相应地就确定了一个xyx 值,称是的函数,其中是自变量, 是因变量.yyxxy(2)从集合的观点看: 给定两个非空数集 A 和 B，如果按照某个对应关系，对于 A 中任f何一个数，在集合 B 中都存在唯一确定的数与之对应，那么就把对应关系叫作定x)(xff义在 A 上的函数，记作或,.BAf:)(xfy Ax集合 A 称为

12、函数的定义域,集合 B 称为函数的值域.(3)从映射的观点看:设 A,B 是两个非空数集, 是 A 到 B 的一个映射,那么映射f就叫作 A 到 B 的函数.BAf:在函数中,原像的集合称为定义域,像的集合称为值域. 2.函数概念的理解 (1)“A,B 是非空集合”.今后若求得定义域为,则此函数不存在; (2)定义域、对应法则和值域是函数的三要素.其中, 定义域和对应关系是两个关键性的 要素,如果定义域和对应法则确定了,值域也就确定了.因此,判定两个函数是否相同,只要看这 两个函数的定义域与对应法则是否相同即可.(3)中为对应法则.当情况比较简单时,对应法则可用一个解析式来表示.但在)(xfy

13、 ff不少问题中,对应法则也可能不便用或不能用一个解析式来表示,这时就必须采用其他方式,f如数表或图像等.(4)函数符号“”是“是的函数”的数学表示,仅仅是函数符号,不是表示“等于)(xfy yxy与的乘积”, 也不一定是解析式.fx)(xf符号与既有区别又有联系, 表示当自变量时函数的值,而)(af)(xf)(afax )(xf表示自变量的函数.一般情况下, 是一个变量,是的一个特殊值.)(xfx)(xf)(af)(xf3.函数定义域的求法当函数用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数的集合;)(xfy x当函数用图像给出时,函数的定义域是指图像在轴上的投影所覆盖的实数)(xfy x的集合;

14、x当函数用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合;)(xfy x当函数由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的意义确定.)(xfy 求函数定义域的常见类型 整式函数的定义域是;R 分式函数的定义域是使分母不为零的实数的集合;6二次根式(或以后学习到的大于 2 次的偶次方根)的被开方式是非负值; 零次幂的底数不等于零; 用四则运算连结起来的函数的定义域是各个函数定义域的交集; 实际问题给出的函数的定义域应根据实际问题的存在条件为依据去运算. 4.函数值域的求法当函数用表格给出时,函数的值域是指表格中实数的集合;)(xfy y当函数用图像给出时,函数的值域是指图像在轴上的投影所覆盖的实数的)(xfy yy集合;当函数用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定;)(xfy 当函数由实际问题给出时,函数的值域由实际问题的意义确定.)(xfy 求函数值域的常用方法:直接法.如一次函数的值域为 R,反比例函数的值域为)0(abaxy)0(kxky,二次函数的值域,这些都可直接写出;0|yy)0()(2acbxaxxf44|2abacyy图像法.如求函数的值域,可将原函数转化为分段函数的形式,并画出它31xxy的图像,再由图像求得;换元法.如求函数的值域,则可令代入原式进行求解;xxy123xt1判别式法.