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1、第三章 随机变量与分布函数,Contents,1. 随机变量及其分布 2. 随机向量，随机变量的独立性 3. 随机变量的函数及其分布,随机变量概念的产生 引入随机变量的意义 随机变量的分类,一、随机变量的定义,1. 随机变量及其分布,、随机变量概念的产生,在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.,1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.,例如，掷一颗骰子面上出现的点数；,六月份广州的最高温度；,每天进入地铁站的人数；,昆虫的产卵数；,2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.,正如
2、裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.,Example,1A =,1， 如果 A 发生,0， 如果 A 不发生,反之，也应该保证任何一个这样的变量 在某些范围内取值，都是随机事件。,对任意的随机事件 A 都可以引进一个函数(0,1)来表示 A 是否发生。,这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数.,这种实值函数与在数学分析中大家接触到的函数不一样！,.x, .,(),（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.,（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值
3、也有一定的概率.,称这种定义在样本空间上的实值单值函数=() 为,随,量,机,变,简记为 r.v.,对于随机试验 E 的每一个可能结果，都有唯一的一个实数值() 相对应，称() 为随机变量，简记为.,随机变量(Random Variable)的概念,随机变量通常用 大写字母X,Y,Z,W,N， 或希腊字母 ,， 等表示,在试验之前只知道可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.,它的取值与试验结果形成对应，,(1) 随机变量是定义在样本空间上的实值函数，,(2) 由于试验结果的出现具有一定的概率，, 的取值情况;, 它取值的概率的分布情况.,随着实验结果的不同而取不同的值，,所以随机变量取每
4、个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.,如何把握一个随机变量?,随机变量的取值既具有可变性，也有随机性。这种双重性正是随机变量与普通变量(函数)的本质区别。,也可以说, 随机事件是从静态的观点来研究随机现象, 而随机变量则是一种动态的观点,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.,引入随机变量的意义?,就象数学分析中常量与变量的区别那样.,以函数为工具,研究随机事件的概率规律,通过将随机事件数值化转化为,研究随机变量取值的概率规律,使概率可转化为我们所熟知的函数形式,分析工具有了用武之地,随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后，随机试验中的任一随机事件
5、就可以通过随机变量的取值关系式表达出来，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.,事件及 事件概率,随机变量及其 取值规律,如：在捐款节目中，单位时间内马英九收到的捐款次数用X表示，它是一个随机变量.,事件收到不少于1次捐款,没有收到捐款, X 1,X= 0,我们用变量X表示，,2：抛一枚硬币，结果分为“正面”、“反面”,1：生化检验结果分阳性和阴性，,X=0表正面；X1表反面。,X=0表阴性；X1表阳性。,Example,3 抛掷骰子,观察出现的点数.,=1，2，3，4，5，6,样本点本身就是数量,且有,则有,设 是定义于概率空间 上的单值实函
6、数，如果对于直线上任一博雷尔点集B，有,则称 为随机变量(Random variable). 而 称为随机变量 的概率分布。,特别地，若取 ，则有,Definition 3.1.1,下面给出随机变量的严格数学定义.,随机变量是数轴上的随机游动点，其可能的每个取值是它的停靠点。,随机变量几何解释,注意到,所以只要对一切实数 给出概率 ，就能算出 落入某个区间的概率，再利用概率的性质还可以算出 属于某些相当复杂的直线点集的概率。,称,为随机变量 的(累计)分布函数( (cumulative) distribution function, c.d.f.) 。记作,Definition 3.1.2,按
7、定义，随机变量是样本点的函数，因此在试验前我们只能知道它可能取那些值，而不能确知它将取何值，这就是随机性；但到了试验之后，它的取值就明确了。,为了计算概率，必须要求随机变量具有可测性，而分布函数的引进则把对于随机变量的概率计算化为对分布函数的数值运算。,由测度论的方法还可以证明：分布函数可以唯一决定概率分布。（测度扩张的唯一性-见杨振明书51页。),二、分布函数的性质,(1),(2),由于 的单调有界性，,Proof,存在,因为,故,Proof,由于 是单调函数，只须证明对于一列单调上升的数列 成立,即可。,根据概率的可列可加性可知,因而,(3) F(x) 左连续，即,另证,利用概率的下连续性
8、,在第三节中我们将证明：满足上述三条性质的函数必为某个随机变量的分布函数。因此，以后我们把满足这三条性质的函数称为分布函数。,注：,如果分布函数定义中的“”改为“”，则为右连续，此时给定一分布函数，也对应一个随机变量。,有了分布函数，关于随机变量 的许多概率 都能方便算出，例如,综上所述，分布函数是一种分析性质良好的函数，便于处理；而给定了分布函数就能算出各种事件的概率。 因此，引进分布函数以后，许多概率论问题便简化或归结为函数的运算，这样就能利用数学分析的许多结果，这也是引进随机变量的好处之一。,无穷且不可列取值, 、随机变量的分类,有限或无穷可列取值,我们将研究两类重要的随机变量：,如“取
9、到次品的个数”，“收到的捐款次数”等.,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.,全部可能取值不仅有无穷多， 而且充满一个区间而不能一一列举.,例1（离散型） 观察投掷一个骰子出现的点数.,随机变量的分类,随机变量 X 的可能值是 :,1, 2, 3, 4, 5, 6.,例2（连续型）随机变量 X 为“灯泡的寿命”.,则 X 的取值范围为,从中任取3 个球,取到的白球数是一个随机变量 .,(1) 可能取的值是0,1,2 ;,(2) 取每个值的概率为:,看一个例子,三、 离散型随机变量,Definition 某些随机变量的所有可能取值是有限
10、多个或可数多个, 这种随机变量称为离散型随机变量 .,其中 (i=1,2, ) 满足：,Definition 设 xi (i=1,2, ) 是离散型随机变量所取的一切可能值，称,为离散型随机变量的概率分布，或称为分布列.,用这两条性质 判断一个函数 是否是分布律,离散型随机变量表示方法,（1）公式法,（2）列表法,例1 闪电侠韦德因为其无解的突破而成名，职业生涯的投篮命中率为0.482(）. 求他两次独立投篮投中次数的概率分布.,解：可取值为0,1,2 ;,P=0=(1-0.482)(1-0.482)=0.268324,P=1= 2(1-0.482)(0.482) =0.499352,P=2=
11、(0.482)(0.482)=0.232324,常常表示为：或,当 x 0 时， X x = ， 故 F(x) =0,例2,设 随机变量 X 的分布律为,当 0 x 1 时，F(x) = PX x = P(X=0) =,求 X 的分布函数 F (x) .,当 1 x 2 时，F(x) = PX=0+ PX=1= + =,当 x 2 时，F(x) = PX=0 + PX=1 + PX=2= 1,故,注意左连续,下面我们从图形上来看一下.,的分布函数图,设离散型 r .v 的分布律是,P= xk = pk , k =1,2,3,F(x) = P( x) =,即F(x) 是 取 的诸值 xk 的概率
12、之和.,一般地,则其分布函数,可见， 为离散型随机变量当且仅当的分布函数 为阶梯型函数.,且 的取值点恰为 的间断点，且,当然，亦可表为,常用的离散型分布,退化（degenerate）分布 （单点分布）,分布函数：,随机变量 只取常数值 ，即,Bernoulli分布,设随机变量 X 只可能取x1与x2两个值 , 它的分布律为,则称 X 服从 两点分布.,( 其中 0 p 1 ),当x1=0，x2=1时两点分布称为(0-1)分布,即： 设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为,则称 X 服从 (0-1) 分布或伯努利分布，,( 其中 0 p 1 ),或称X为参数为p的Bernoul
13、li随机变量.,实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,随机变量 X 服从 (01) 分布.,实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定,则随机变量 X 服从(0 1)分布.,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.,说明,伯努利分布可以看成为n=1的二项分布。,二项(binomial)分布,用 记 重伯努利试验中事件 出现的次数，则,简记作,Example in Practice,虽然从技术指标上看经济尚未出现连续两个季度负增长的情形，但调查
14、显示仍有50的美国人认为美国经济处于衰退期（Business Week ,2001.7.30）. 对于一个由12个美国人组成的样本，求：,1.恰好有12个人认为美国正处于衰退期的概率；,2.不超过5个人认为美国正处于衰退期的概率；,超几何分布（无放回抽样调查） Hypergeometric Distribution,设袋中有 个球，其中白球 个，黑球 个. 任取 个，记 表示抽到的白球数目，则,一般地，若随机变量 的概率分布由上式给出，则称 服从超几何分布.,Excel函数：HYPGEOMDIST( ).,极限分布 若,则,可见，超几何分布分布的极限分布为二项分布，即当样本容量足够大时，无放回抽样可近似于有放回抽样.,advice 一般来说，当n0.05N 时，将无放回抽样视为有放回抽样，结果都会很好.,Proof,Example in Practice,黑杰克，亦称为二十一点，是拉斯维加斯赌场常玩的一种赌博. 每个玩家先发两张牌. 10,J,Q,K分值为10，A 分值为1或11. 求：,1.所发的两张牌不是A就是10分牌的概率；,2.所发的两张牌都是A的概率；,3.所发的两张牌都是10分牌的概率；,4.一张10分牌加一张A的分值为21，称为黑杰克. 问一名玩家得到黑杰克的概率有多大？,Figure,泊松分布(Poisson Distribution ),
