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1、第 1 页 共 11 页 高考有关导数问题解题方法总结高考有关导数问题解题方法总结 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小 值。 二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1 32 ( )32f xxx 在区间 1,1 上的最大值是 2 2已知函数 2)()( 2 xcxxxfy、 处有极大值，则常数 c 6 ； 3函数 3 31xxy 有极小值 1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1曲线 3 4yxx 在点 1, 3 处的切线方程是 2yx 2若曲线
2、xxxf 4 )( 在 P 点处的切线平行于直线 03 yx ，则 P 点的坐标为 （1，0） 3若曲线 4 yx 的一条切线l与直线 480xy 垂直，则l的方程为 430xy 4求下列直线的方程： （1）曲线 1 23 xxy 在 P(-1,1)处的切线； （2）曲线 2 xy 过点 P(3,5)的切线； 解：（1） 123|yk 23 1) 1 , 1( 1x /2/23 、 、 xxyxxyP 所以切线方程为 02 11 yxxy、 （2）显然点 P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为 ),( 00 yxA ，则 2 00 xy 又函数的导数为 xy2 / ， 所以过 ),( 00 y
3、xA 点的切线的斜率为 0 / 2| 0 xyk xx ，又切线过 ),( 00 yxA 、P(3,5)点，所以有 3 5 2 0 0 0 x y x ，由联立方程组得， 25 5 1 1 0 0 0 0 y x y x 、 ，即切点为（1，1）时，切线斜率为 ; 22 01 xk ；当切点为（5，25）时，切线斜率为 102 02 xk ；所以所求的切线有两条，方程分 第 2 页 共 11 页 别为 2510 12 )5(1025) 1(21 xyxyxyxy、 、 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 1已知函数 )1 (, 1 ()(,)( 23 fPxfycbxaxxxf上的点
4、过曲线 的切线方程为 y=3x+1 （）若函数 2)(xxf在 处有极值，求 )(xf 的表达式； （）在（）的条件下，求函数 )(xfy 在3，1上的最大值； （）若函数 )(xfy 在区间2，1上单调递增，求实数 b 的取值范围 解：（1）由 .23)(,)( 223 baxxxfcbxaxxxf求导数得 过 )1 (, 1 ()(fPxfy上点 的切线方程为： ).1)(23() 1(),1)(1 () 1 (xbacbayxffy即 而过 . 1 3)1 (, 1 )(xyfPxfy的切线方程为上 故 3 02 3 323 ca ba ca ba 即 124, 0)2(,2)(bafx
5、xfy故时有极值在 由得 a=2，b=4，c=5 . 542)( 23 xxxxf （2） ).2)(23(443)( 2 xxxxxf 当 ; 0)(, 3 2 2; 0)(,23xfxxfx时当时 13)2()(. 0)(,1 3 2 fxfxfx 极大 时当 又 )(, 4) 1 (xff 在3，1上最大值是 13。 （3）y=f(x)在2，1上单调递增，又 ,23)( 2 baxxxf 由知 2a+b=0。 依题意 )(x f 在2，1上恒有 )(x f 0，即 . 03 2 bbxx 当 6, 03) 1 ()(,1 6 min bbbfxf b x时 ； 当 bbbfxf b x,
6、 0212)2()(,2 6 min 时 ； 第 3 页 共 11 页 当 . 6 0, 0 12 12 )(,1 6 2 2 min b bb xf b 则时 综上所述，参数 b 的取值范围是 ), 0 2已知三次函数 32 ( )f xxaxbxc 在 1x 和 1x 时取极值，且 ( 2)4f (1) 求函数 ( )yf x 的表达式； (2) 求函数 ( )yf x 的单调区间和极值； (3) 若函数 ( )()4(0)g xf xmm m 在区间 3, mn 上的值域为 4,16 ，试求m、n应满足 的条件 解：(1) 2 ( )32fxxaxb ， 由题意得，1, 1 是 2 32
7、0xaxb 的两个根，解得， 0,3ab 再由 ( 2)4f 可得 2c 3 ( )32f xxx (2) 2 ( )333(1)(1)fxxxx ， 当 1x 时， ( )0fx ；当 1x 时， ( )0fx ； 当 11x 时， ( )0fx ；当 1x 时， ( )0fx ； 当 1x 时， ( )0fx 函数 ( )f x 在区间( , 1 上是增函数； 在区间 1, 、 上是减函数；在区间1, ) 上是增函数 函数 ( )f x 的极大值是 ( 1)0f ，极小值是 (1)4f (3) 函数 ( )g x 的图象是由 ( )f x 的图象向右平移m个单位，向上平移 4m个单位得到的
8、， 所以，函数 ( )f x 在区间 3, nm 上的值域为 4 4 ,164 mm （ 0m ） 而 ( 3)20f ， 4420m ，即 4m 于是，函数 ( )f x 在区间 3, 4n 上的值域为 20, 0 令 ( )0f x 得 1x 或 2x 由 ( )f x 的单调性知， 142n ，即3 6n 综上所述，m、n应满足的条件是： 4m ，且3 6n 第 4 页 共 11 页 3设函数 ( )()()f xx xa xb （1）若 ( )f x 的图象与直线5 80xy 相切，切点横坐标为，且 ( )f x 在 1x 处取极值， 求实数 , a b 的值； （2）当 b=1 时，
9、试证明：不论 a 取何实数，函数 ( )f x 总有两个不同的极值点 解：（1） 2 ( )32().fxxab xab 由题意 (2)5,(1)0ff ，代入上式，解之得：a=1，b=1 （2）当 b=1 时， ( )0fx、 2 32(1)0.xaxa 因 , 0) 1(4 2 aa 故方程有两个不同实根 21,x x 不妨设 21 xx ，由 )(3)( 21 xxxxxf 可判断 )( xf 的符号如下： 当 时， 1 xx )( xf ；当 时， 21 xxx)( xf ；当 时， 2 xx )( xf 因此 1 x 是极大值点， 2 x 是极小值点 ，当 b=1 时，不论 a 取何
10、实数，函数 ( )f x 总有两个不同 的极值点。 题型四：利用导数研究函数的图象 1如右图：是 f（x）的导函数， )( / xf 的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ D ） （A） （B） （C） （D） 2函数 、14 3 1 3 xxy ( A ) 第 5 页 共 11 页 x y o 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 x y o 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 x y y 4 o -4 2 4 -4 2 -2 -2 6666 y x -4 -2 o 42 2 4 3方程 、)2 , 0(0762 23 xx ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3 题型五
11、：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 1设函数 . 1 0 , 32 3 1 )( 223 abxaaxxxf （1）求函数 )(xf 的单调区间、极值. （2）若当 2, 1aax 时，恒有 axf| )(| ，试确定 a 的取值范围. 解：（1） 22 ( )43fxxaxa = (3 )()xa xa ，令 ( )0fx 得 12 ,3xa xa 列表如下： x （- ，a） a （a，3a ） 3a （3a，+ ） ( )fx-0+0- ( )f x A 极小A极大A ( )f x 在（a，3a）上单调递增，在（-，a）和（3a，+）上单调递减 xa 时， 3 4 ( ) 3
12、fxba 极小 ， 3xa 时， ( )fxb 极小 （2） 22 ( )43fxxaxa 0 1a ，对称轴 21xaa ， ( )fx 在a+1，a+2上单调递减 22 (1)4 (1)321 Max faa aaa ， 22 min (2)4 (2)344faa aaa 第 6 页 共 11 页 依题| ( )|fxa | Max fa ， min |fa 即|2 1|,|44|aaaa 解得 4 1 5 a ，又0 1a a 的取值范围是 4 ,1) 5 2已知函数 f（x）x3ax2bxc 在 x 2 3与 x1 时都取得极值（1）求 a、b 的值与函 数 f（x）的单调区间 （2）
13、若对 x1，2 ，不等式 f（x）c2 恒成立，求 c 的取值范围。 解：（1）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb 由 f（ 2 3 ） 124 ab0 93 ，f（1）32ab0 得 a 1 2 ，b2 f（x）3x2x2（3x2） （x1） ，函数 f（x）的单调区间如下表： x （， 2 3） 2 3 （ 2 3，1） 1（1，） f（x ） 00 f（x ） 极大值极小值 所以函数 f（x）的递增区间是（， 2 3）与（1，） ，递减区间是（ 2 3，1） （2）f（x）x3 1 2x22xc，x1，2 ，当 x 2 3时，f（x） 22 27c 为极大值，而 f（2）2c，则 f（2）2c 为最大值。 要使 f（x）c2（x1，2 ）恒成立，只需 c2f（2）2c，解得 c1 或 c2 题型六：利用导数研究方程的根 1已知平面向量a
