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1、第二章 连续时间系统的时域分析,本章介绍分析连续时间系统的时域方法。,时域分析方法的特点 不作任何变换 , 直接在时域中进行分析、计算； 直观、物理概念清楚。, 2.1 引 言,系统分析过程,列方程：连续时间系统在时域的数学模型 微分方程解方程,经典法：齐次解 + 特解,零输入 + 零状态：可以利用卷积积分求零状态 变换域法,经典法:注意冲激激励(t)带来的新情况。,卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法), 2.2 微分方程式的建立与求解,一、微分方程式的建立,例 1 分别以 vC(t) 和 iL(t)为响应列写微分方程。,KVL: vS(t) = vL(t) +
2、vC(t) KCL: iL(t) = iR(t) + iC(t),VCR:,一、微分方程式的建立（系统建模）,根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 对于电路系统，主要是根据元件的伏安关系和网络拓扑约束（KCL，KVL）列写系统的微分方程。,连续线性时不变系统微分方程的一般形式：,二、微分方程的经典解法：齐次解 + 特解,例 2 已知描述某二阶线性时不变连续时间系统的微分方程为,e(t) = 2，初始条件 r(0) = 1， r (0) = 2，求系统的完全响应r(t)。,解：齐次解 rh(t) = A1e 2t + A2e 4t,特解,全解,n 阶微分方程需要 n 个初始条件一般将激励信
3、号加入系统的时刻定义为t = 0 ，响应为 t 0+ 时方程的解,1. 齐次解：列特征方程求特征根写出齐次解形式,2. 特 解：根据微分方程右端函数形式含待定系数的特解函数式代入原方程定出特解。,经典法基本步骤,3. 全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解Ak。,Ak 待定,初始条件:,注意：特征根对应的齐次解的形式,1. 齐次解：列特征方程求特征根写出齐次解形式,经典法基本步骤,Ak 待定,1. 齐次解：列特征方程求特征根写出齐次解形式,2. 特 解：根据微分方程右端函数形式含待定系数的特解函数式代入原方程定出特解。,经典法基本步骤,Ak 待定,p.46, 表2-2。,例 4 已知描述某
4、二阶线性时不变连续时间系统的微分方程为,e(t) = e2t，初始条件 r(0+) = 0.8， r (0+) = 0，求系统的完全响应r(t)。,齐次解:,特解：,全解：,rh(t) = e t A1cos(2t) + A2 sin(2t),特征方程 2 + 2 + 5 = 0 1,2 = 1 j2,例 4 已知描述某二阶线性时不变连续时间系统的微分方程为,e(t) = e2t，初始条件 r(0+) = 0.8， r (0+) = 0，求系统的完全响应r(t)。,全解：,三. 自由响应和强迫响应,齐次解的形式只取决于系统特性，与外施激励无关。齐次解也称为系统的自由响应。 特征方程的特征根称为
5、系统的固有频率。 特解的形式由外施激励决定，特解也称为系统的强迫响应。 完全解 = 齐次解 + 特解= 自由响应 + 强迫响应, 2.3 起始点的跳变 从 0到 0+状态的转移,何时会出现 r(k)(0+) r(k)(0) 的情况？,一. 0 状态与 0+ 状态,响应范围：,二. 起始点的跳变,e.g.,若 iC(0)为有限值：,若 iC(t) = (t) ：,当有冲激电流或阶跃电压作用于电容时： vC(0+) vC(0),二. 起始点的跳变,e.g.,当有冲激电流或阶跃电压作用于电容时：vC(0+) vC(0),冲激激励将带来起始点的跳变： r(k)(0+) r(k)(0)。微分方程右端包含
6、(t)及其导数项时可以利用冲激函数匹配法由r(k)(0) 确定r(k)(0+) 。,匹配原理：t = 0 时刻微分方程左右两端(t)及各阶导数项应该平衡。,e.g.,三冲激函数匹配法确定初始条件,已知 r(0)，求 r(0+)。,3 (t),33(t),9(t),39u(t),u(t)：表示从 0 到0+的相对单位跳变函数。,+27u(t),0 0+ ：r(t) = 3(t) 9u(t),r(0+) = r(0) 9,方程右端(t)的最高阶导数项一定属于方程左端r(t)的最高阶导数项；再依次增加(t)的各低阶导数项，直至u(t)项。,e.g.,冲激函数匹配法的数学表达,已知 r(0)，求 r(
7、0+)。,代入方程：,即,即,方法： 分 0 0+ 及 t 0+ 两段分析,例 1,已知 r(0) = 0，求 r(t), t 0。,0 0+ ：r(t) = 3(t) 9u(t),t 0+ ：,r(t) = Ae 3t, + 3 = 0 = 3,r(0+) = A = 9,r(t) = 9e 3t u(t),全部 t ：r(t) = 3(t) 9e 3t u(t),解：,方法： 分 0 0+ 及 t 0+ 两段分析,例 1,0 0+ ：r(t) = 3(t) 9u(t),t 0+ ：,r(t) = 9e 3t u(t),r(t) = 3(t) 9e 3t u(t),解：,注意： (1) 分
8、0 0+ 及 t 0+ 两段分析; (2) 在0 0+，方程右端的(t)及其导数项可能引起r(k)(0+) r(k)(0)，且使r(t)中包含 (t)及其导数项； (3) t 0+ 时，方程右端的(t)及其导数项都已消失； (4) 完整的r(t)应包含以上两段的分析结果。,已知 r(0) = 0，求 r(t), t 0。,例 2,已知 r(0) = 0， r (0) = 0，求 r(t)。,0 0+ ：r (t) = u(t)，r(t) = 0,t 0+ ：,解：, 2.4 零输入响应和零状态响应,定义：没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。记为rzi(t).,
9、对于系统：,一、零输入响应,且已知 r(k)(0) 0,零输入响应：,rzi (k)(0) = r (k)(0),定义：不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。记为rzs(t).,二、零状态响应,对于系统：,且已知 r(k)(0) 0,rzs(k)(0) = 0,零状态响应：,例 1 已知某系统的微分方程模型为,求零输入响应rzi(t)，零状态响应rzs(t)和全响应r(t) 。,解：,零输入响应,例 1 已知某系统的微分方程模型为,求零输入响应rzi(t)，零状态响应rzs(t)和全响应r(t) 。,解：,零状态响应,零输入响应与零状态响应分析,自由响
10、应,强迫响应,零输入响应时激励为零，rzi(k)(0+) = rzi(k)(0)，响应的形式与齐次解的形式相同， rzi(t)是自由响应的一部分。 零状态响应时 rzs(k)(0) = 0，而rzs (k)(0+) ?= rzs (k)(0)取决于微分方程右端是否包含冲激函数及其导数项。响应的形式包含齐次解与特解， rzs(t)是一部分自由响应加上全部强迫响应。,零输入响应与零状态响应分析,自由响应,强迫响应,(3) 对于同一系统，若起始状态相同，则零输入响应相同；若激励相同，则零状态响应相同。,(4) 系统线性分析若 e(t) r(t) = rzi(t) + rzs(t)Ke(t) rzi(
11、t) + Krzs(t) Kr(t) 问题：线性常微分方程描述的系统不具有线性？解释：rzi(t) 对起始状态具有线性， rzs(t) 对外施激励具有线性。,三、对系统线性的进一步认识,由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的： (1)响应可分解为：零输入响应零状态响应。 (2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。 (3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。,这类系统也称为增量线性系统：任意两个激励信号产生的响应之差是两激励信号之差的线性函数，即输出的增量对输入的增量满足均匀性和叠加性。从而避开了起始状态不为零的问题。,三、对系
12、统线性的进一步认识,由线性常系数微分方程描述的系统，当起始状态不为零时是增量线性系统；只有当起始状态为零时，才具有一般意义的线性。,瞬态响应： t 时，取值趋于零的那部分响应分量。 稳态响应： t 时，保留下来的那部分响应分量。,四、全响应的分解,全响应 = 自由响应强迫响应( Natural + Forced),= 零输入响应零状态响应(Zero-input + Zero-state),= 瞬态响应 + 稳态响应(Transient + Steady-state),四、全响应的分解,e.g.1,强迫响应未必都是稳态响应，取决于激励的形式。,e.g.2, 2.5 冲激响应和阶跃响应,1. 冲激
13、响应：系统在单位冲激信号(t) 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。,一冲激响应与阶跃响应定义,2. 阶跃响应：系统在单位阶跃信号 u(t) 作用下产生的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用g(t)表示。,1. 响应的产生,二冲激响应与阶跃响应分析,h(t) ：(t)为输入，系统起始状态为零,1. 响应的产生,二冲激响应与阶跃响应分析,g(t) ：u(t)为输入，系统起始状态为零,2. 响应的形式,二冲激响应与阶跃响应分析, 0 0+：利用冲激函数匹配法根据 h(k)(0) = 0 确定 h(k)(0+)。 t 0+：由于 (t) 及其导数
14、项在 t 0+时都为零，因而方程右端恒等于零，冲激响应的形式与齐次解的形式相同。,h(t) ：由于激励中存在(t)及其导数项，分段求解,2. 响应的形式,二冲激响应与阶跃响应分析, 若存在(t)及其导数项，利用冲激函数匹配法确定 g(k)(0+)。 由于激励中存在u(t)项， t 0+时方程的解包含齐次解和特解。,g(t) ：激励中存在u(t)项，还可能存在(t)及其导数项,解：,例 1 求系统,(1) 0 0+：,的冲激响应。,解：,(2) t 0+：,求特征根,例 1 求系统,的冲激响应。,三阶跃响应与冲激响应的关系,线性时不变系统满足微、积分特性,(t) h(t),同理，,对于因果系统，
15、h(t)为因果信号，则,总结,冲激响应的求解至关重要。,冲激响应的定义：零状态 单位冲激信号激励,冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 (t)，看响应 h(t)，h(t)不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。,用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。,冲激响应, 2.6 卷 积,卷积 利用卷积积分求系统的零状态响应 卷积积分的计算 卷积积分的几点说明,一卷积（Convolution）,注意：(1) 卷积积分中自变量分别换为 和 t ；(2) 积分变量为 ，t 为参变量；(3) 积分区间为 到 +；(4) 卷积计算结果仍为 t 的函数。,已知函数 f1(t) 和 f2(t)，定义积分,为 f1(t) 和 f2(t) 的卷积积分，简称卷积。记为,或,二利用卷积求系统的零状态响应,任意信号e(t)可表示为冲激序列之和,
