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1、第二章 习题解答1、证明的充要条件是对任意含有的邻域 U(，)（不一定以0PE0PP为中心）中，恒有异于的点属于（事实上，这样的还有无穷多个） 。0P0P1PE1P而的充要条件则是有含的邻域 U(，)（同样，不一定以为中心）0P0 E0PP0P存在，使 U(，)。PE证明：（1）充分性，用反证法，若，则的某一邻域 U(，)0PE0P0P0中至多有有限个异于的点，属于，令d(，)0P1X2XnXEni1min0Pix=，在 U(，)中不含异于的点属于，这与条件矛盾。0P0PE必要性，设 U(，)是任意一个含有的邻域，则 d(，)0，则 U(，)U(，)。因为，所以，在 U(10PP0P1P0PE
2、，)中含于无穷多个属于的点，其中必有异于的点，即 U(，)0P1E0P1PP中有异于的点 。0P1P（2）必要性是显然的，下面证明充分性，设含有的邻域 U(，)，0PPE则 d(，)是开集，而|()是闭集。Exfxa1Exfxa证明：若|()，则是开集，若，有ExfxaEE0xE()，因为()在连续，所以0，当U(，)时，有()f0xafx0xx0xfx，即 U(，)，所以是的内点，故是开集。同理可证|()a0xE0xEExfx0，使|()() nlimfnxf0x0nkxfnkxf0x|(1，2，)即()()或()()，若0kfnkxf0x0fnkxf0x0()()，令 C()，则|()C，
3、fnkxf0x0fnkx0nkxExfx因为，所以，而()()C，所以，与nkx0x0xEf0xf0x00xE为闭集矛盾；若()()，则可导出与为闭集矛盾。Efnkxf0x01E12、证明2 定理 5 。定理 5：设，则至少有一界点（即） 。EEnREE证明：因为，所以存在，设EEnR0PE1P E(，)，(，)，令(1 )，0P1a2ana1P1b2bnbtPt1bt1a(1 )，(1 )(0 1)，sup |。以下t2bt2atnbtnat0tttPE证明 。0tPE（1）若，则1（否则）当0，1，满足 10tPE0t0tP1P Et0tt时,。于是，对任意，存在，满足1，使，显tP Ennt0tntnt0tntPE然有，所以 。ntP0tP0tPE（2）若，则0，存在，0，同样有0tPE0tntnt0tnt0tntPE。0tPE103104
