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1、1LYR(2010-09-23)“LYR(2010-09-23)“最值问题最值问题” 集锦集锦平面几何中的最值问题平面几何中的最值问题 0101 几何的定值与最值几何的定值与最值 0707 最短路线问题最短路线问题 1414 对称问题对称问题 1818 巧作巧作“对称点对称点”妙解最值题妙解最值题 2222 数学最值题的常用解法数学最值题的常用解法 2626 求最值问题求最值问题 2929 有理数的一题多解有理数的一题多解 3434 44 道经典题道经典题 3737平面几何中的最值问题平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在平面几何中，我们
2、常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系 在一起，统称最值问题如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经在一起，统称最值问题如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经 济、最节约和最高效率下面介绍几个简例济、最节约和最高效率下面介绍几个简例 在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、 图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。最值问题的解决方法通常有两种：最值问题的解决方法通常有
3、两种：（1 1） 应用几何性质：应用几何性质： 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 两点间线段最短；两点间线段最短； 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 定圆中的所有弦中，直径最长。定圆中的所有弦中，直径最长。运用代数证法：运用代数证法： 运用配方法求二次三项式的最值；运用配方法求二次三项式的最值； 运用一元二次方程根的判别式。运用一元二次方程根的判别式。例例 1 1、A A、B B 两点在直线两点在直线 l l 的同侧，在直线的同侧，在直线
4、L L 上取一点上取一点 P P，使，使 PA+PBPA+PB 最小。最小。 2分析：在直线分析：在直线 L L 上任取一点上任取一点 PP，连结，连结 A A PP，BPBP， 在在ABPABP中中 AP+BPAP+BPABAB，如果，如果 AP+BPAP+BPAB,AB,则则 PP必在线段必在线段 ABAB 上，而线段上，而线段 ABAB 与直线与直线 L L 无交点，所以这种思路错误。无交点，所以这种思路错误。 取点取点 A A 关于直线关于直线 L L 的对称点的对称点 AA，则，则 APAP APAP， 在在ABPABP 中中 AP+BPAP+BPAB,AB,当当 PP移到移到 AB
5、AB 与直线与直线 L L 的交点处的交点处 P P 点时点时 AA P+BPP+BPABAB，所以这时，所以这时 PA+PBPA+PB 最小。最小。1 1 已知已知 ABAB 是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDCABDC 是内接半圆的梯形，试问是内接半圆的梯形，试问 怎样剪这个梯形，才能使梯形怎样剪这个梯形，才能使梯形 ABDCABDC 的周长最大的周长最大( (图图 3 391)91)？分析分析 本例是求半圆本例是求半圆 ABAB 的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为 R R由于由于 ABCDABCD， 必
6、有必有 AC=BDAC=BD若设若设 CD=2yCD=2y，AC=xAC=x，那么只须求梯形，那么只须求梯形 ABDCABDC 的半周长的半周长 u=x+y+Ru=x+y+R 的最大值即的最大值即 可可 解解 作作 DEABDEAB 于于 E E，则，则 x x2 2=BD=BD2 2=ABBE=ABBE2R(R-y)2R(R-y)2R2R2 2-2Ry-2Ry，所以所以所以求所以求 u u 的最大值，只须求的最大值，只须求-x-x2 2+2Rx+2R+2Rx+2R2 2最大值即可最大值即可 -x-x2 2+2Rx+2R+2Rx+2R2 2=3R=3R2 2-(x-R)-(x-R)2 23R3
7、R2 2， 上式只有当上式只有当 x=Rx=R 时取等号，这时有时取等号，这时有所以所以 2y=R=x2y=R=x3所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点 C C，D D， 这时，梯形的底角恰为这时，梯形的底角恰为 6060和和 1201202 2 . .如图如图 3 39292 是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为 8 8 米米(m)(m)，怎样才能得，怎样才能得 出最大面积，使得窗户透光最好？出最大面积，使得窗户透光最好？分析与解分析与解 设设 x x 表示半圆半径，表示半圆半径，y y 表示矩形边长
8、表示矩形边长 ADAD，则必有，则必有 2x+2y+x=82x+2y+x=8，若窗户的最大面积为若窗户的最大面积为 S S，则，则把把代入代入有有即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大3.3. 已知已知 P P 点是半圆上一个动点，试问点是半圆上一个动点，试问 P P 在什么位置时，在什么位置时，PA+PBPA+PB 最大最大( (图图 3 393)93)？ 分析与解分析与解 因为因为 P P 点是半圆上的动点，当点是半圆上的动点，当 P P 近于近于 A A 或或 B B 时，显然时，显然 PA+PBPA+PB 渐
9、小，在极限渐小，在极限 状况状况(P(P 与与 A A 重合时重合时) )等于等于 ABAB因此，猜想因此，猜想 P P 在半圆弧中点时，在半圆弧中点时，PA+PBPA+PB 取最大值取最大值设设 P P 为半圆弧中点，连为半圆弧中点，连 PBPB，PAPA，延长，延长 APAP 到到 C C，使，使 PC=PAPC=PA，连，连 CBCB，则，则 CBCB 是切线是切线 为了证为了证 PA+PBPA+PB 最大，我们在半圆弧上另取一点最大，我们在半圆弧上另取一点 PP，连，连 PAPA，PBPB，延长，延长 APAP到到 CC， 使使 PC=BPPC=BP，连，连 CBCB，CCCC，则，则
10、PCB=PBC=PCB=45PCB=PBC=PCB=45， 所以所以 A A，B B，CC，C C 四点共圆，所以四点共圆，所以CCA=CBA=90CCA=CBA=90，4所以在所以在ACCACC中，中，ACACACAC，即，即 PA+PBPA+PBPA+PBPA+PB4 4 如图如图 3 39494，在直角，在直角ABCABC 中，中，ADAD 是斜边上的高，是斜边上的高，M M，N N 分别是分别是ABDABD，ACDACD 的内心，的内心， 直线直线 MNMN 交交 ABAB，ACAC 于于 K K，L L求证：求证：S SABCABC2S2SAKLAKL 证证 连结连结 AMAM，BM
11、BM，DMDM，ANAN，DNDN，CNCN 因为在因为在ABCABC 中，中，A=90A=90，ADBCADBC 于于 D D， 所以所以 ABD=DACABD=DAC，ADB=ADC=90ADB=ADC=90 因为因为 M M，N N 分别是分别是ABDABD 和和ACDACD 的内心，所以的内心，所以 1=2=451=2=45，3=43=4， 所以所以 ADNBDMADNBDM，又因为又因为MDN=90=ADBMDN=90=ADB，所以，所以 MDNBDAMDNBDA， 所以所以 BAD=MNDBAD=MND 由于由于BAD=LCDBAD=LCD，所以，所以 MND=LCDMND=LCD
12、， 所以所以 D D，C C，L L，N N 四点共圆，所以四点共圆，所以 ALK=NDC=45ALK=NDC=45同理，同理，AKL=1=45AKL=1=45，所以，所以 AK=ALAK=AL因为因为 AKMADMAKMADM， 所以所以 AK=AD=ALAK=AD=AL而而而而从而从而所以所以 S SABCABCSSAKLAKL5.5. 如图如图 3 39595已知在正三角形已知在正三角形 ABCABC 内内( (包括边上包括边上) )有两点有两点 P P，Q Q求证：求证：PQABPQAB证证 设过设过 P P，Q Q 的直线与的直线与 ABAB，ACAC 分别交于分别交于 P P1 1
13、，Q Q1 1，连结，连结 P P1 1C C，显然，显然，PQPPQP1 1Q Q1 1 因为因为AQAQ1 1P P1 1+P+P1 1Q Q1 1C=180C=180， 所以所以AQAQ1 1P P1 1和和PP1 1Q Q1 1C C 中至少有一个直角或钝角中至少有一个直角或钝角 若若AQAQ1 1P P1 19090，则，则 PQPPQP1 1Q Q1 1APAP1 1ABAB； 若若PP1 1Q Q1 1C90C90，则，则 PQPPQP1 1Q Q1 1PP1 1C C5同理，同理，APAP1 1C C 和和BPBP1 1C C 中也至少有一个直角或钝角，不妨设中也至少有一个直角
14、或钝角，不妨设BPBP1 1C90C90， 则则 P P1 1CBC=ABCBC=AB对于对于 P P，Q Q 两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQABPQAB6.6. 设设ABCABC 是边长为是边长为 6 6 的正三角形，过顶点的正三角形，过顶点 A A 引直线引直线 l l，顶点，顶点 B B，C C 到到 l l 的距离设为的距离设为 d d1 1，d d2 2，求，求 d d1 1+d+d2 2的最大值的最大值(1992(1992 年上海初中赛题年上海初中赛题) )解解 如图如图 3 39696，延长，延长 BABA 到到 BB，使，使 AB=ABAB=AB，连，连 BC
