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1、1LYR(2010-09-23)“LYR(2010-09-23)“最值问题最值问题” 集锦集锦平面几何中的最值问题平面几何中的最值问题 0101 几何的定值与最值几何的定值与最值 0707 最短路线问题最短路线问题 1414 对称问题对称问题 1818 巧作巧作“对称点对称点”妙解最值题妙解最值题 2222 数学最值题的常用解法数学最值题的常用解法 2626 求最值问题求最值问题 2929 有理数的一题多解有理数的一题多解 3434 44 道经典题道经典题 3737平面几何中的最值问题平面几何中的最值问题在平面几何中,我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题,有时它和不等式联系在平面几何中,我们
2、常常遇到各种求最大值和最小值的问题,有时它和不等式联系 在一起,统称最值问题如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来,可以达到最经在一起,统称最值问题如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来,可以达到最经 济、最节约和最高效率下面介绍几个简例济、最节约和最高效率下面介绍几个简例 在平面几何问题中,当某几何元素在给定条件变动时,求某几何量(如线段的长度、在平面几何问题中,当某几何元素在给定条件变动时,求某几何量(如线段的长度、 图形的面积、角的度数)的最大值或最小值问题,称为最值问题。图形的面积、角的度数)的最大值或最小值问题,称为最值问题。最值问题的解决方法通常有两种:最值问题的解决方法通常有
3、两种:(1 1) 应用几何性质:应用几何性质: 三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边; 两点间线段最短;两点间线段最短; 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短;连结直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短; 定圆中的所有弦中,直径最长。定圆中的所有弦中,直径最长。运用代数证法:运用代数证法: 运用配方法求二次三项式的最值;运用配方法求二次三项式的最值; 运用一元二次方程根的判别式。运用一元二次方程根的判别式。例例 1 1、A A、B B 两点在直线两点在直线 l l 的同侧,在直线的同侧,在直线
4、L L 上取一点上取一点 P P,使,使 PA+PBPA+PB 最小。最小。 2分析:在直线分析:在直线 L L 上任取一点上任取一点 PP,连结,连结 A A PP,BPBP, 在在ABPABP中中 AP+BPAP+BPABAB,如果,如果 AP+BPAP+BPAB,AB,则则 PP必在线段必在线段 ABAB 上,而线段上,而线段 ABAB 与直线与直线 L L 无交点,所以这种思路错误。无交点,所以这种思路错误。 取点取点 A A 关于直线关于直线 L L 的对称点的对称点 AA,则,则 APAP APAP, 在在ABPABP 中中 AP+BPAP+BPAB,AB,当当 PP移到移到 AB
5、AB 与直线与直线 L L 的交点处的交点处 P P 点时点时 AA P+BPP+BPABAB,所以这时,所以这时 PA+PBPA+PB 最小。最小。1 1 已知已知 ABAB 是半圆的直径,如果这个半圆是一块铁皮,是半圆的直径,如果这个半圆是一块铁皮,ABDCABDC 是内接半圆的梯形,试问是内接半圆的梯形,试问 怎样剪这个梯形,才能使梯形怎样剪这个梯形,才能使梯形 ABDCABDC 的周长最大的周长最大( (图图 3 391)91)?分析分析 本例是求半圆本例是求半圆 ABAB 的内接梯形的最大周长,可设半圆半径为的内接梯形的最大周长,可设半圆半径为 R R由于由于 ABCDABCD, 必
6、有必有 AC=BDAC=BD若设若设 CD=2yCD=2y,AC=xAC=x,那么只须求梯形,那么只须求梯形 ABDCABDC 的半周长的半周长 u=x+y+Ru=x+y+R 的最大值即的最大值即 可可 解解 作作 DEABDEAB 于于 E E,则,则 x x2 2=BD=BD2 2=ABBE=ABBE2R(R-y)2R(R-y)2R2R2 2-2Ry-2Ry,所以所以所以求所以求 u u 的最大值,只须求的最大值,只须求-x-x2 2+2Rx+2R+2Rx+2R2 2最大值即可最大值即可 -x-x2 2+2Rx+2R+2Rx+2R2 2=3R=3R2 2-(x-R)-(x-R)2 23R3
7、R2 2, 上式只有当上式只有当 x=Rx=R 时取等号,这时有时取等号,这时有所以所以 2y=R=x2y=R=x3所以把半圆三等分,便可得到梯形两个顶点所以把半圆三等分,便可得到梯形两个顶点 C C,D D, 这时,梯形的底角恰为这时,梯形的底角恰为 6060和和 1201202 2 . .如图如图 3 39292 是半圆与矩形结合而成的窗户,如果窗户的周长为是半圆与矩形结合而成的窗户,如果窗户的周长为 8 8 米米(m)(m),怎样才能得,怎样才能得 出最大面积,使得窗户透光最好?出最大面积,使得窗户透光最好?分析与解分析与解 设设 x x 表示半圆半径,表示半圆半径,y y 表示矩形边长
8、表示矩形边长 ADAD,则必有,则必有 2x+2y+x=82x+2y+x=8,若窗户的最大面积为若窗户的最大面积为 S S,则,则把把代入代入有有即当窗户周长一定时,窗户下部矩形宽恰为半径时,窗户面积最大即当窗户周长一定时,窗户下部矩形宽恰为半径时,窗户面积最大3.3. 已知已知 P P 点是半圆上一个动点,试问点是半圆上一个动点,试问 P P 在什么位置时,在什么位置时,PA+PBPA+PB 最大最大( (图图 3 393)93)? 分析与解分析与解 因为因为 P P 点是半圆上的动点,当点是半圆上的动点,当 P P 近于近于 A A 或或 B B 时,显然时,显然 PA+PBPA+PB 渐
9、小,在极限渐小,在极限 状况状况(P(P 与与 A A 重合时重合时) )等于等于 ABAB因此,猜想因此,猜想 P P 在半圆弧中点时,在半圆弧中点时,PA+PBPA+PB 取最大值取最大值设设 P P 为半圆弧中点,连为半圆弧中点,连 PBPB,PAPA,延长,延长 APAP 到到 C C,使,使 PC=PAPC=PA,连,连 CBCB,则,则 CBCB 是切线是切线 为了证为了证 PA+PBPA+PB 最大,我们在半圆弧上另取一点最大,我们在半圆弧上另取一点 PP,连,连 PAPA,PBPB,延长,延长 APAP到到 CC, 使使 PC=BPPC=BP,连,连 CBCB,CCCC,则,则
10、PCB=PBC=PCB=45PCB=PBC=PCB=45, 所以所以 A A,B B,CC,C C 四点共圆,所以四点共圆,所以CCA=CBA=90CCA=CBA=90,4所以在所以在ACCACC中,中,ACACACAC,即,即 PA+PBPA+PBPA+PBPA+PB4 4 如图如图 3 39494,在直角,在直角ABCABC 中,中,ADAD 是斜边上的高,是斜边上的高,M M,N N 分别是分别是ABDABD,ACDACD 的内心,的内心, 直线直线 MNMN 交交 ABAB,ACAC 于于 K K,L L求证:求证:S SABCABC2S2SAKLAKL 证证 连结连结 AMAM,BM
11、BM,DMDM,ANAN,DNDN,CNCN 因为在因为在ABCABC 中,中,A=90A=90,ADBCADBC 于于 D D, 所以所以 ABD=DACABD=DAC,ADB=ADC=90ADB=ADC=90 因为因为 M M,N N 分别是分别是ABDABD 和和ACDACD 的内心,所以的内心,所以 1=2=451=2=45,3=43=4, 所以所以 ADNBDMADNBDM,又因为又因为MDN=90=ADBMDN=90=ADB,所以,所以 MDNBDAMDNBDA, 所以所以 BAD=MNDBAD=MND 由于由于BAD=LCDBAD=LCD,所以,所以 MND=LCDMND=LCD
12、, 所以所以 D D,C C,L L,N N 四点共圆,所以四点共圆,所以 ALK=NDC=45ALK=NDC=45同理,同理,AKL=1=45AKL=1=45,所以,所以 AK=ALAK=AL因为因为 AKMADMAKMADM, 所以所以 AK=AD=ALAK=AD=AL而而而而从而从而所以所以 S SABCABCSSAKLAKL5.5. 如图如图 3 39595已知在正三角形已知在正三角形 ABCABC 内内( (包括边上包括边上) )有两点有两点 P P,Q Q求证:求证:PQABPQAB证证 设过设过 P P,Q Q 的直线与的直线与 ABAB,ACAC 分别交于分别交于 P P1 1
13、,Q Q1 1,连结,连结 P P1 1C C,显然,显然,PQPPQP1 1Q Q1 1 因为因为AQAQ1 1P P1 1+P+P1 1Q Q1 1C=180C=180, 所以所以AQAQ1 1P P1 1和和PP1 1Q Q1 1C C 中至少有一个直角或钝角中至少有一个直角或钝角 若若AQAQ1 1P P1 19090,则,则 PQPPQP1 1Q Q1 1APAP1 1ABAB; 若若PP1 1Q Q1 1C90C90,则,则 PQPPQP1 1Q Q1 1PP1 1C C5同理,同理,APAP1 1C C 和和BPBP1 1C C 中也至少有一个直角或钝角,不妨设中也至少有一个直角
14、或钝角,不妨设BPBP1 1C90C90, 则则 P P1 1CBC=ABCBC=AB对于对于 P P,Q Q 两点的其他位置也可作类似的讨论,因此,两点的其他位置也可作类似的讨论,因此,PQABPQAB6.6. 设设ABCABC 是边长为是边长为 6 6 的正三角形,过顶点的正三角形,过顶点 A A 引直线引直线 l l,顶点,顶点 B B,C C 到到 l l 的距离设为的距离设为 d d1 1,d d2 2,求,求 d d1 1+d+d2 2的最大值的最大值(1992(1992 年上海初中赛题年上海初中赛题) )解解 如图如图 3 39696,延长,延长 BABA 到到 BB,使,使 AB=ABAB=AB,连,连 BC