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1、 3.3 梁的内力, 3.3.1 梁的概念,平面弯曲的梁：（1）梁具有纵向对称轴面；（2）外力（包括荷载和反力）均作用在纵向轴面内，与杆轴垂直；（3）杆轴线在纵向轴面内弯成一条平面曲线。,一、平面弯曲概念,梁：以弯曲为主的构件。,工程中一般为等截面直梁。,纵向对称面,二、横截面上的内力,梁横截面上的内力，主要为弯矩和剪力。梁横截面上的内力，可以用截面法由静力平衡求出。,Q,a,如图：求支座反力：VA=VB=P/2作 m-m 截面，取左半段为隔离体，为保持平衡，必有：,P/2,C,Q,M,y=0 -Q + VA=0剪力 Q = VA =P/2,MC=0 M VA a = 0弯矩 M = VA a
2、 = Pa/2,右半段亦然。,P/2,P,M,三、剪力、弯矩正负号（规定）,剪力,弯矩,Q,Q,Q,Q,Q,Q,M,M,M,M,M,M,四、求指定截面上的剪力和弯矩,运用截面法，利用平衡条件，建立平衡方程。,规律：任一截面上的剪力=截面以左（或右）梁上外力（包括反力）的代数和。任一截面上的弯矩=截面以左（或右）梁上外力（包括反力）对该截面形心力矩的代数和。,求解时可先假设该截面剪力和弯矩的方向（一般设为正向），然后用平衡方程求出该截面上的剪力和弯矩。若得出的剪力和弯矩为正值，说明假设方向正确。如果得出的结果为负，则说明假设方向错误。,例1：求梁跨中截面C的剪力和弯矩。,6m,VA,VB,P=1
3、2kN,q=4kN/m,m=6kNm,3m,2m,2m,m=6kNm,q=4kN/m,7kN,QC,MC,P=12kN,q=4kN/m,29kN,QC,MC,解： （1）求支座反力 MB=0 -VA6-6+463-122=0VA =7kN （） MA=0 VB6-6-463-128=0VB =29kN （）,（2）求截面C的内力 左段： y =0-Qc - 43+7=0 QC = - 5kNMC=0 MC +431.5- 73 - 6=0MC = 9kN m (下侧受拉）也可用右半段,通过以上例题可以找到计算梁内力（弯矩、剪力）的一些规律。,1、梁内任一截面上剪力 Q 的大小，等于该截面左边梁
4、段（或右边梁段）上的与截面平行各力（包括外力、反力、内力）的代数和。,2、梁内任一截面上弯矩 M 的大小，等于该截面左边梁段（或右边梁段）上所有各力（包括外力、反力、内力）对这个截面形心的力矩代数和。,补充： 剪力 ：左段为隔离体，此段梁上所有向上的外力使该截面产生正号剪力。此段梁上所有向下的外力使该截面产生负号剪力。右段为隔离体，此段梁上所有向下的外力使该截面产生正号剪力。此段梁上所有向上的外力使该截面产生负号剪力。,弯矩 ：无论取左边梁段或右边梁段为隔离体，则梁段上所有向上的力使该截面产生正号弯矩，所有向下的力使该截面产生负号弯矩。截面左边的力对截面形心的力矩如为顺时针，引起正弯矩。截面右
5、边的力对截面形心的力矩为如逆时针，引起正弯矩。,剪力：左上右下 弯距：左顺右逆,例2：求梁跨中截面C的剪力和弯矩。,如：从截面 C 左边外力计算 QC =7- 43 = - 5kN MC =6+73 - 431.5= 9kN m,如：从截面 C 右边外力计算 QC =12- 29 + 43 = - 5kN MC =293 - 125 - 431.5= 9kN m,梁的内力图剪力图和弯矩图,一、梁的剪力图和弯矩图,梁上各截面上的剪力（弯矩）值用图形表示出来，统称为内力图。,剪力图： 表示梁上各截面剪力变化规律的图形。 弯矩图： 表示梁上各截面弯矩变化规律的图形。,二、剪力方程和弯矩方程,梁上各个
6、截面上的剪力和弯矩是不相同的，它们随截面位置的变化而变化，可表示为沿梁长 x 的函数。剪力方程 Q = Q（x）弯矩方程 M = M（x）,三、列方程绘制梁的剪力图和弯矩图,基本做法：根据Q=Q（x），M=M（x）用数学作函数图形的方法进行绘制。,在一直角坐标系中，按照选定的比例尺，以梁轴为 x 坐标，剪力（弯矩）为纵坐标，绘Q= Q（x），M= M（x）的图形。,剪力图： 正号剪力画在 x 轴的上方；负号剪力画在 x 轴的下方。 弯矩图： 正号弯矩画在 x 轴的下方；负号弯矩画在 x 轴的上方。,例3 悬臂梁AB，A端受集中力P，作Q、M图。,Q(x),M(x),x,ql,Q图,x,ql2
7、/2,例4 悬臂梁AB，受均布荷载作用，作Q、M图。,解： 1、列Q=Q（x），M=M（x）方程,A 点作为坐标原点Q（x）= - qx （0xl）M（x）= - qx2 /2 （0xl）,2、画剪力图,3、画弯矩图,4、危险截面在固定端附近 最大值： Qmax = ql Mmax = ql2/2,M图,例5 简支梁AB，受均布荷载作用，作Q、M图。,2、列Q=Q（x），M=M（x）方程,A 点作为坐标原点 Q（x）= VA qx = ql/2 qx（0xl）M（x）= VA x qx2 /2=qlx/2 qx2 /2 （0xl）,3、画剪力图,4、画弯矩图,5、剪力危险截面在支座附近，弯矩危
8、险截面在跨中 最大值： Qmax = ql/2 Mmax = ql2/8,解： 1、求反力 VA = VB = ql/2,A 点作为坐标原点，P作用点处，剪力、弯矩方程将不同，分两段写方程。,剪力图与弯矩图的形状特征 （据上面的各种关系推出）,梁上情,况,内力图,剪力图,弯矩图,无外力区段,常数 (水平线),直线变化,(平直线或斜直线),均布荷载作用区段,斜直线 (自左至右),抛物线,(凸出方向向同荷载指向),零,极 值,集中荷载作用处,有突变 (突变值为P),有尖角 (尖角突出方向同荷载指向),集中力偶作用点处,无变化,有突变 (突变值为力偶大小),铰处,为 零,注:,() 在铰结点处一侧截面上如无集中力偶作用，M。 在铰结处一侧截面上如有集中力偶作用，则该截面弯矩此外力偶值。() 自由端处如无集中力偶作用，则该端弯矩为零。自由端处如有集中力偶作用，则该端弯矩此外力偶值。,例9：,作图示梁的弯矩图。,30,35,20,M图 (kNm),FAy =35kN,FBy =45kN,作业：P106 3-2: (c) 3-3: (b),
