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1、第2节 函数的单调性与最值,最新考纲,考点专项突破,知识链条完善,易混易错辨析,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.函数单调性定义中的x1,x2有何要求? 提示:x1,x2必须是函数定义域中的任意两个值. 2.若函数f(x)在区间C和区间D上都是增(减)函数,则函数f(x)在区间CD上是增(减)函数吗? 提示:不一定.如f(x)= ,在区间(-,0)及(0,+)上都是减函数,但在(-, 0)(0,+)上不是减函数,如取x1=-1,x2=1,x1f(x2)不成立. 3.当一个函数的增区间(或减区间)有多个时,能否用“”将函数的单调增区间(减区间)连接起来? 提示:不能直接用“”将
2、它们连接起来,例如:函数y=x3-3x的单调增区间有两个: (-,-1)和(1,+),不能写成(-,-1)(1,+). 4.函数一定存在值域,那么它一定存在最值吗? 提示:对一个函数来说,其值域是确定的, 但它不一定有最值,如函数y=x3.如果函数有最值,其最值一定是值域中的一个元素.,知识梳理,1.函数的单调性 (1)单调函数的定义,f(x1)f(x2),上升的,下降的,(2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是 或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 叫做函数y=f(x)的单调区间.,增函数,区间D,2.函数的最值,f(x)M,f(x0)=M,f(x
3、)M,f(x0)=M,(2)(x1-x2)f(x1)-f(x2)0f(x)在a,b上是增函数;(x1-x2)f(x1)-f(x2)f(1) (B)f(m)0, 所以m1, 所以f(m)f(1). 故选A.,A,3.导学号 18702024 若函数f(x)是R上的减函数,且f(a2-a)2 (C)a2,解析:因为f(x)是R上的减函数且f(a2-a)a, 所以a2-2a0, 所以a2或ax2时,f(x1) f(x2);x1x2时,f(x1)0, 则x2或x-2. 又u=x2-4在(2,+)上单调递增,在(-,-2)上单调递减,且t=log2u在(0,+)上是增函数, 故f(x)=log2(x2-
4、4)的单调递减区间是(-,-2),所给选项中只有 (-4,-3)满足.故选C.,求函数单调区间的常见方法: (1)利用已知函数的单调性,转化为已知函数的和、差或复合函数,再求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义求解. (3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数确定函数的单调区间. (5)复合函数法:如果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断方法,首先判断两个简单函数的单调性,再根据“同则增,异则减”的法则求解函数的单调区间.,反思归纳,考点二,函数单调性的应用,考查角度1:比较函数值大小
5、,【例2】 导学号 18702027 已知函数y=f(x)的图象关于x=1对称,且在(1, +)上单调递增,设a=f(- ),b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为( ) (A)cba (B)bac (C)bca (D)ab0的解集为( ) (A)(1,+) (B)(-1,1) (C)(-,-1) (D)(-,-1)(1,+),解析:由f(x)的图象关于x=1对称,f(0)=0,可得f(2)=f(0)=0, 当x+11时,f(x+1)0,即为f(x+1)f(2),由f(x)在1,+)上单调递减,可得x+10,即为f(x+1)f(0),由f(x)在(-,1)上单调递增,可得x+10
6、,解得x-1,即有-1x1)的最小值为 .,答案:(3)8,求函数最值(值域)的常用方法及适用类型 (1)单调性法:易确定单调性的函数,利用单调性法研究函数最值(值域). (2)图象法:能作出图象的函数,用图象法,观察其图象最高点、最低点,求出最值(值域). (3)基本不等式法:分子、分母其中一个为一次,一个为二次的函数结构以及两个变量(如x,y)的函数,一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件,用基本不等式法求最值(值域). (4)导数法:若f(x)是三次、分式以及含ex,ln x,sin x,cos x结构的函数且f(x)可求,可用导数法求函数的最值(值域).,反思归纳,备选例题,
7、(2)若a0且f(x)在(1,+)内单调递减,求a的取值范围.,解析:作出函数f(x)的图象如图所示,由图象可知要使f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a4或a+12,即a1或a4.故选D.,解析:由题意,当x0时,f(x)=2x3+3x2+1,可得f(x)=6x2+6x,当x -1,0时,f(x)0,函数为增函数,故函数在-2,0上的最大值为f(-1)=2;故要使函数f(x)在-2,3上的最大值为2,则当x=3时,e3a的值必须小于等于2,即e3a2, 解得a(-, ln 2. 故选D.,解析:y=2x,y=2-x在R上分别为增函数、减函数, 则f(x)=2x-2-x为增函数; 因为f
8、(-x)=2-x-2x=-f(x), 所以f(x)在R上为奇函数; 因为f(x2-ax+a)+f(3)0, 所以f(x2-ax+a)-f(3), 所以f(x2-ax+a)f(-3), 所以x2-ax+a-3, 所以x2-ax+a+30在R上恒成立, 所以(-a)2-41(a+3)0, 所以a2-4a-120, 所以-2a0对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是 .,函数的定义域考虑不周致误,易混易错辨析 用心练就一双慧眼,答案:(1,2,易错提醒:本题由于是复合函数,不但要求函数u(x)=-x2+6x-5在(m,m+1)上是增函数,还要使u(x)在(m,m+1)上满足u(x)0的条件.,点击进入 应用能力提升,
