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1、专题一 求极限的方法【考点】求极限1、 近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目，一般为 2-3 题 12-18 分左右，而用极限 的概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必 达法则和利用定积分的概念求极限，使用这些方法时要注意条件，如等价量代换是在 几块式子乘积时才可使用，洛必达法则是在 0 比 0，无穷比无穷的情况下才可使用，运 用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。 2、 极限收敛的几个准则：归结准则（联系数列和函数） 、夹逼准则（常用于数列的连加） 、 单调有界准则、子数列收敛定理（可用于讨论某数列极限不存在） 3、 要注意除等价量代换和洛必达法
2、则之外其他辅助方法的运用，比如因式分解，分子有 理化，变量代换等等。4、 两个重要极限 ，注意变形，如将第二个式 0sinlim1 xx x101lim(1)lim(1)xxxxxex子中的变成某趋向于 0 的函数以构造“”的形式的典型求极10lim(1)x xxe x( )f x1限题目。 5、 一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如： （1）利用归结原则将数列极限转化为函数极限 （2）函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。有时可以利用这点进行解题，如因左右极限不相等而在这点极限不存在。 （当式子中出现绝对值和1 11limxxee 的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出
3、发） （3）遇到无限项和式求极限时想三种方法： 看是否能直接求出这个和式(如等比数列求和)再求极限 夹逼定理 用定积分的概念求解。 （4）如果 f(x)/g(x)当 xx0 时的极限存在，而当 xx0 时 g(x)0，则当 xx0 时 f(x) 也 0（5）一个重要的不等式：（）sin xx0x *其中方法考到的可能性较大。 6、 有关求极限时能不能直接代入数据的问题。 7、 闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理） 8、 此部分题目属于基本题型的题目，需要尽量拿到大部分的分数。【例题精解求极限的方法】方法一方法一：直接通过化简，运用极限的四则运算进行运算。【例 1】求极限
4、 11lim1mnxx x 解 =1212111(1)()limlim1(1)()mmmnnnxxxxxx xxxx 1 1m n注：此题通过洛必达法则进行求解也非常方便。还可通过变量代换构造等价量。【例 2】求极限22lim(1) xxxx 解 222211lim(1)lim21xxxxxx xxx 注：1、遇到“根号加减根号”基本上有两种方法有理化和采取倒变量的方法。2、一个最基本的多项式极限(系数均不为 0)：1 12 1 12limnn n mmxna xa xa b xb xb 若 nm，则极限为正无穷； 若 nm，则极限为 0；若 n=m，则极限为。 （本质为比较次数）11a b要
5、注意的是是趋向于正无穷，而且分子分母遇到根号时要以根号里的最高次的次xx1 2来计算，如的次数为 1。21x 方法二：利用单调有界准则来证明极限存在并求极限方法二：利用单调有界准则来证明极限存在并求极限【例 3】设，,证明存在并求之112u 112(1,2,.)nnuunlimnnu 方法三：利用夹逼定理方法三：利用夹逼定理适用于无限项求极限时可放缩的情况。适用于无限项求极限时可放缩的情况。【例 4】求极限1lim123.nnnnnn解 因 1111=123.=nnnnnnnn nnnnn而 lim1=lim=1nnnn 故由夹逼定理=11lim123.nnnnnn方法四方法四& &方法五：等
6、价量代换、洛必达法则方法五：等价量代换、洛必达法则未定式极限。未定式极限。 （化加减为乘除！（化加减为乘除！ ）【例 5】求极限tan0limtanxxxee xx 解 原式=tan00(1)(tan)limlim1tantanxx xxxxe eexx xxxx【例 6】求极限11 21lim()xxxxaa解 =111111 222(1)111lim()= lim(1)lim1 (1)x xxxxxxxxxxaax aaxa 21lim1lnln(1)xxaax x 【例 7】求极限224031+tan1 sinlim sin( (1)1)xxxxxx解 原式=22403( 1+tan1
7、sin )( 1+tan1 sin )lim sin( (1)1)( 1+tan1 sin )xxxxxxxxxx= =022tansinlim4sin23xxxxxx02tan (1 cos )limsin423xxx xxxxx =3021 32lim416123xxxx 【例 8】求极限 01 cos cos2 cos3lim1 cosxxxx x 解：直接运用洛必达法则和等价量代换可得= 01 cos cos2 cos3lim1 cosxxxx x = 000sincos2 cos34cos sin2 cos39cos cos2 sin3limlimlim23xxxxxxxxxxxx
8、xxx= 000sin cos2 cos32cos sin2 cos33cos cos2 sin3limlimlimsinsinsinxxxxxxxxxxxx xxx= 000sin cos2 cos32cos sin2 cos33cos cos2 sin3limlimlim xxxxxxxxxxxx xxx=1+4+9=14 000sin cos2 cos34cos sin2 cos39cos cos2 sin3limlimlim23xxxxxxxxxxxx xxx【例 9】求极限lim log ()ab xxxx 解： 由换底公式，=()= ln()limlnabxxx x limabab
9、xaxbx xx limababxaxbx xx 若，则极限为；若，则极限为，综上，极限为abaabbmax , a b方法六：幂指函数求极限方法六：幂指函数求极限取对数再取指数。取对数再取指数。【例 10】21limsinnnnn(1 )解解 22 21011sinlimsin= limsinlimnxtnxttnxnxt2sin1 sin0sinlim 11tt t t ttttt t3200sin0cos11limlim036ttt tttteee【例 11】1 ln+limarctan2xxx 0(0 )解解 +1lnarctan2lnlim()ln+limarctan=2xx xxx
10、xe 2211()1()arctan021limlim( )10arctan2xxxxxxxxee 221lim11xxxee 【例 12】求极限cot1limarcxxxe x 注意 x 是趋向正无穷，此时需要先分析底数和指数分别趋向于多少，分析底数易知底数 趋向于正无穷。但是指数 arccotx 这个函数不是很熟，可以通过图像先分析 cotx 再分析arccotx 趋向于多少，最后得出结论是指数趋于 0。故是一个“”型，所以要用“先取0 对数再取指数”的方法。对于之后 arccotx 的处理，若用罗比达对其求导则会发现再接下 来比较难做，这里给出一个转化为熟悉的，可等加量代换的式子的方法，
11、方法较灵活，需 要对三角函数之间的转换有很深的熟悉度。解 原式=1arccot ln limxexxxe1lim arccot lnxxexxe11lim arctanlnxxe xxe=ln1ln limxxexxe1lim1xxxe xeee关于第三个等号左右的变化：令，则，故，cotyarcx1cottanxyy1tan yx，综上，1arctanyx1cottanarcxarcx方法七：运用泰勒定理求极限方法七：运用泰勒定理求极限适用于直接洛必达不好算时考虑的方法。适用于直接洛必达不好算时考虑的方法。【例例 13】13】求极限2222022 1lim(cos)xxxxxxe解 ,24
12、241+1()28xxxo x 0x ，2 3cos1()02!xxo xx ，代入原式可得，2221()0xexo xx ，原式=4 22420232222()4lim 1() 1()2!xxxxo xxxo xxo x 4 4044()4lim3()2xxo xxo x1 6方法八：通过定积分的概念来求极限方法八：通过定积分的概念来求极限【例 14】求22222lim(.)149nnnnn nnnnn 解 由于此题无法直接对式子进行化简，也无法用夹逼定理，故想到用定积分的概念来求 解，即 原式=2222222221lim(.)149nnnnn n nnnnn=222211111lim. 1
13、231111nnn nnnn =2 111lim1nnini n此时由定积分的概念可将上面的和式看成被积函数在0,1上的定积分，故21( )1f xx=22222lim(.)149nnnnn nnnnn1201 1dxx4【例 15】求极限1111limln1 (1)(2).2 1lim( !) = limnniinnnnnnn nnnenn解 1111 (1)(2).2 1(1)(2).2 1lim( !) = limlimnnn nnnnn nnn nnnnnn11 2 31lim(.)n nnn n n nnn11 2 31limln(.) nnn nn n nnne 11limlnnn
14、ii nne10lnxdxe1 0( ln)|1xx xee【例 16】222222 1sinsinlimlnnnkkknkk nn 【分析】此题看似复杂，其实仔细观察可以发现本质仍为无限项的和式求极限，故再次想到用定积分的概念求解。故我们需要找到定积分概念中和式极限的“”和“” 。1 n( )if“”我们可以类似【例 5】 ，自己把这一项构造出来，而这一项不同于我们以往做1 n( )if过的题目中经常取小区间的左端点或右端点，而是取了中间一个点，但是无( )if1i ni n论如何，由于“取点的任意性” ，只要能表示成中的一种即可看作为1(),( ),( )iiifffnn0 到 1 上的定积分。( )f x解解： 原式=2222
