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1、7-7-1 容斥原理之重叠问题（一）.题库 教师版 page 1 of 97-7-1.7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）容斥原理之重叠问题（一）教学目标教学目标1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用知识要点知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号ABABAB“”读作“交”，相当于中文“且”的意思)则
2、称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理图示如下:表A示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积图示如下:BCAB表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积ABCAB包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素的个数，可分以下两步进行：AB、AB第一步：分别计算集合的元素个数，然后加起来，即先求(意思是把的一切元素都“包含”进AB、ABAB、来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去(意思是“排除”了重复计算的元素个数)CAB二、三量重叠问题类、类与类元素个数的总和类元素的个数类元素个数类元素个数既是类又是类A
3、BCABCAB的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数同时是类、类、类的元BCACABC素个数用符号表示为：图示如下：ABCABCABBCACABC1先包含AB重叠部分计算了次，多加了 次；AB212再排除ABAB把多加了 次的重叠部分减去1AB7-7-1 容斥原理之重叠问题（一）.题库 教师版 page 2 of 9在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考例题精讲例题精讲两量重叠问题【例例 1】小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐
4、、陶艺、跳 绳。用圆绳。用圆 A、圆、圆 B 分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表示分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表示_。BA【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第 3 题【解析】阴影部分是两人都爱好的：数学、音乐【答案】数学、音乐【例例 2】四（四（1）班全体同学站成一排，当从左向右报数时，小华报：）班全体同学站成一排，当从左向右报数时，小华报：18；当从右向左报数时，小华报：；当从右向左报数时，小华报：13.那那 么该班有学生么该班有学生_名。名。 【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】
5、希望杯，四年级，二试，第 2 题【解析】该班学生人数为：（名） 。1813 130 【答案】名30【例例 3】实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有人，参加数学兴趣小组的有人，参加数学兴趣小组的有人，有人，有人两个人两个282912 小组都参加这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？小组都参加这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？CBA【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答【解析解析解析】如图所示，圆表示参加语文兴趣小组的人，圆表示参加数学兴趣小组的人，与重合的部分ABAB(阴影部分)表示同时参加两个小组的人图中圆不含阴影的部分表示只参加
6、语文兴趣小组未参CA图中小圆表示的元素的个数，中圆表示的元素的个数，AB大圆表示的元素的个数C1先包含：ABC重叠部分、重叠了次，多加了ABBCCA2次12再排除：ABCABBCAC重叠部分重叠了 次，但是在进行 ABC3ABC计算时都被减掉了ABBCAC3再包含：ABCABBCACABC7-7-1 容斥原理之重叠问题（一）.题库 教师版 page 3 of 9加数学兴趣小组的人，有(人)；图中圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参281216B加语文兴趣小组的人，有(人)291217方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：(人) 16121745方法二：根据包含排除法，直接可得： 参
7、加语文或数学兴趣小组的人参加语文兴趣小组的人参加数学兴趣小组的人两个小组都参加的人，即：(人)28291245【答案】人45【巩固巩固】 芳草地小学四年级有芳草地小学四年级有人学钢琴，人学钢琴，人学画画，人学画画，人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画584337 画的分别有多少人？画的分别有多少人？CBA【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答【解析】解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义如图，圆表示学画画的人，圆表示学钢琴的人
8、，表示既学钢琴又学画画的人，图中圆不含ABCA阴影的部分表示只学画画的人，有：(人)，图中圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，43376B有：(人)583721【答案】人21【巩固巩固】四四(二二)班有班有名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有人，写完数学作业的有人，写完数学作业的有人，语文人，语文483020 数学都没写完的有数学都没写完的有人人6 问语文数学都写完的有多少人？问语文数学都写完的有多少人？ 只写完语文作业的有多少人？只写完语文作业的有多少人？ 【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答【解析】 由题意，有(人)至少完成了一科作业
9、，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：48642(人)3020428 只写完语文作业的人数写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即(人)30822【答案】人22【巩固巩固】四（四（1）班有）班有 46 人，其中会弹钢琴的有人，其中会弹钢琴的有 30 人，会拉小提琴的有人，会拉小提琴的有 28 人，则这个班既会弹钢琴又会拉人，则这个班既会弹钢琴又会拉 小提琴的至少有小提琴的至少有 人。人。 【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第 6 题【解析】至少一项不会的最多有(46-30)+(46-28)=34,那么两项都会的至少有 46-34=12
10、人【答案】人12【例例 4】如图，圆如图，圆 A 表示表示 1 到到 50 这这 50 个自然数中能被个自然数中能被 3 整除的数，圆整除的数，圆 B 表示这表示这 50 个数中能被个数中能被 5 整除的整除的 数，则阴影部分表示的数是数，则阴影部分表示的数是 。7-7-1 容斥原理之重叠问题（一）.题库 教师版 page 4 of 9BA【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第 4 题【解析】阴影部分是 A 和 B 共有的，即 1 到 50 这 50 个自然数中能被 3515 整除的数，即 15，30，45【答案】，153045【例例 5】学校为了
11、丰富学生的课余生活，组建了乒乓球俱乐部和篮球俱乐部，同学们踊跃报名参加，其中学校为了丰富学生的课余生活，组建了乒乓球俱乐部和篮球俱乐部，同学们踊跃报名参加，其中 有有 321 人报名参加乒乓球俱乐部，人报名参加乒乓球俱乐部，429 人报名参加了篮球俱乐部，但学校最后发现有人报名参加了篮球俱乐部，但学校最后发现有 50 人既报名人既报名 参加了乒乓球俱乐部，又报名参加了篮球俱乐部，还有参加了乒乓球俱乐部，又报名参加了篮球俱乐部，还有 23 人什么俱乐部都没报名，问该学校共有人什么俱乐部都没报名，问该学校共有 名学生名学生 【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】学而思杯，4
12、年级，第 5 题【解析】人3214295023723 【答案】人723【例例 6】某班共有某班共有人，参加美术小组的有人，参加美术小组的有人，参加音乐小组的有人，参加音乐小组的有人，有人，有人两个小组都参加人两个小组都参加4612235 了这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？了这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？ 【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答【解析解析解析】已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为(人)所
13、以，该班未参加美术或音乐小组的人数是(人)1223530463016【答案】人16【巩固巩固】四年级一班有四年级一班有人，其中人，其中人参加了数学竞赛，人参加了数学竞赛，人参加了作文比赛，人参加了作文比赛，人两项比赛都参加人两项比赛都参加45262212 了一班有多少人两项比赛都没有参加？了一班有多少人两项比赛都没有参加？ 【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答【解析】由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：(人)，所以，两项比赛都没有参26221236加的人数为：(人)45369【答案】 人9【巩固巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有实验二校一个歌舞表演队里，能表
14、演独唱的有 10 人，能表演跳舞的有人，能表演跳舞的有 18 人，两种都能表演的有人，两种都能表演的有 7 人这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？人这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？ 【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答【解析】根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：(人)1018721【答案】人21【例例 7】全班全班 50 个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28 人有直尺，有三角板的人中，男生是人有直尺，有三角板的人中，男生是 14 人，人， 若已知全班共有女生若已知全班共有女生 31 人，那么有直尺的女生有人，那么有直尺的女生有_人。人。 【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第 8 题【解析】有三角板的学生共 50-28=22（人），其中女生 22-14=8（人），那么有直尺的女生有 31-8=23（人）。7-7-1 容斥原理之重叠问题（一）.题库 教师版 page 5 of 9【答案】人23【例例 8】某次英语考试由两部分组成，结果全班有某次英语考试由两部分组成，结果全班有人得满分，第一部分有人得满分，第一部分有人做对，第二部分有人做对，第二部分有人人122519
