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1、半角模型半角模型过等腰ABC（AB=AC）顶角 A 引两条射线且它们的夹角为 A，这两条射线1 2与底角顶点的相关直线交于 M、N 两点，则 BM、MN、NC 之间必然存在固定的 关系，这种关系仅与两条相关直线及顶角 A 相关解决办法：以 A 为中心，把CAN（顺时针或逆时针）旋转 度，至ABN，连接 MN结论：1、AMNAMN，MN=MN2、若 BM、MN、NB 共线，则存在 x+y+z 型的关系若不共线，则BMN中，MBN必与A 相关应用环境：1、顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为 30、45、60、7590，或它 们的补角为这些特殊角度的时候；2、正方形、菱形等也能产生等腰三角形3、过底
2、角顶点的两条相关直线：底边、底角两条角平分线、腰上的高、底角的 邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或菱形的另外两边4、此等腰三角形的相关弦半角模型半角模型条件：条件：.180210且思路：（思路：（1 1） 、延长其中一个补角的线段、延长其中一个补角的线段（延长（延长CDCD到到E E，使使ED=BMED=BM ，连连AEAE或延长或延长CBCB到到F F，使，使FB=DNFB=DN ，连连AFAF ） 结论：结论：MN=BM+DN ABCCMN2AMAM、ANAN分分别平分别平分BMN 和和DNM（2）对称（翻折）对称（翻折）思路思路:分别将分别将ABM 和和ADN 以以
3、AM 和和 AN 为对称轴翻折，但一为对称轴翻折，但一定要证明定要证明 M、P、N 三点共线三点共线.（B+D=0180且且 AB=AD）例题应用：例例题应用：例 1、在正方形、在正方形ABCDABCD中，若中，若M M、N N分别在边分别在边BCBC、CDCD上移上移动，且满足动，且满足MN=BMMN=BM + +DNDN，求证：，求证：.MAN=45.ABCCMN2.AMAM、ANAN分别平分分别平分BMN 和和DNM.思路同上略思路同上略. .例例 2 拓展：在正方形拓展：在正方形ABCDABCD中，已知中，已知MAN=45，若若M M、N N分别在边分别在边CBCB、DCDC的延长线上
4、移动，的延长线上移动，.试探究线段试探究线段MNMN、BMBM 、DNDN之间的数量关系之间的数量关系. .求证：求证：AB=AH.（提示）（提示）例例 3.在四边形在四边形ABCDABCD中，中，B+D=180，AB=AD，若，若E E、F F分别在边分别在边BCBC、CDCD上，且满足上，且满足EF=BEEF=BE + +DF.DF.求证：求证：.21BADEAF（提示）（提示）例 4，在ABC 中，AB=AC，BAC=2DAE=120，若 BD=5，CE=8，求 DE。例五.请阅读下列材料：已知：如图 1 在中，点、分别为线段上Rt ABC90BACABACDEBC两动点，若探究线段、三
5、条线段之间的数量关系45DAEBDDEEC小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结，AECA90ABEE D使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予BDDEEC证明； （2）当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图 2，其它EBCDCB条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明 1ABCDE 2ABCDE例例 6 探究：探究：（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAF45，试判断 BE、DF 与 EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；（2）如图
6、 2，若把(1)问中的条件变为“在四边形 ABCD 中，ABAD，BD180，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且EAF=BAD”，21则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将AEF 绕点 A 逆时针旋转，当点分别 E、F 运动到BC、CD 延长线上时，如图 3 所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明练习巩固练习巩固 1：如图，在四边形：如图，在四边形ABCDABCD中，中，B=D=90，AB=AD，若，若E E、F F分别在边分别在边BCBC、CDCD 上的点，且上的点，且.21BADEA
7、F . 求证：求证：EF=BEEF=BE + +DF.DF.（提示）提示）练习巩固练习巩固 2，已知：正方形中，绕点顺时针旋转，它ABCD45MANA的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N （1）如图 1，当绕点旋转到时，有当MANABMDNBMDNMN绕点旋转到时，如图 2，请问图 1 中的结论还是否成立？MANABMDN如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当绕点旋转到如图 3 的位置时，线段和之间有怎MANABMDN，MN样的等量关系？请写出你的猜想，并证明NMDCBANMCDBANMDCBA练习巩固练习巩固 3(1)如图，在四边形中，分别是ABCD,90ABA
8、DBD ,E F边上的点，且求证：;,BC CD1 2EAF =BADEFBEFDEFDCBA(2) 如图在四边形中，分别是边上的ABCD,180ABADB+D,E F,BC CD点，且， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明 1 2EAFBADEFDCBA(3) 如图，在四边形中，分别是边ABCDABAD180BADC ,E F延长线上的点，且， (1)中的结论是否仍然成立？若成,BC CD1 2EAFBAD立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明EFDCBA（4）如图，将边长为 4cm 的正方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠（点 E、F 分别在边AB、CD 上） ，使点 B
9、落在 AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P，连接 EP（1）如图，若 M 为 AD 边的中点，AEM 的周长= 6 cm；求证：EP=AE+DP；（2）随着落点 M 在 AD 边上取遍所有的位置（点 M 不与 A、D 重合） ，PDM 的周长是否发生变化？请说明理由（5）.如图 17，正方形 ABCD，E、F 分别为 BC、CD 边上一点（1）若EAF=45求证：EF=BE+DF（2）若AEF 绕 A 点旋转，保持EAF=45，问CEF 的周长是否随AEF 位置 的变化而变化？ （3）已知正方形 ABCD 的边长为 1，如果CEF 的周长为 2求EAF 的
10、度数练习巩固练习巩固 4.如图，五边形 ABCDE 中，AB=BC=CD=DE=EA，求BAECAD21BAE练习巩固练习巩固 5.如图，已知在正方形 ABCD 中，=45，连接 BD 与 AM，ANM AN分别交于 E、F 两点。求证：（1）MN=MB+DN；（2）点 A 到 MN 的距离等于正方形的边长；（3）的周长等于正方形 ABCD 边长的 2 倍；AC M N（4）；AAABC DC M NS2AB SM N（5）若=20，求；M ABAM N（6）若，求； M AB045AM N（7）；222EFEBD F（8）与是等腰三角形；AAENAAFM（9）。AAAEFAM NS1 S2练
11、习巩固练习巩固 6.在等边的两边，所在直线上分别有两点为ABCABACMND，外一点，且，探究：当点分别ABC60MDN120BDCBDCDMN， 爱直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边AB AC，BMBN MN，AMNQ 的周长的关系ABCL MNDCBA MNDCBAN M DCBA（1）如图，当点在边上，且时，之间的MN，AB AC，DMDNBMNC MN，数量关系式_；此时_Q L（2）如图，当点在边上，且时，猜想(1)问的两个结MN，AB AC，DMDN 论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图，当点分别在边的延长线上时，若，则MN，AB CA，ANx_(用表示)Q x
12、L，练习巩固练习巩固 7.如图所示，ABC 是边长为 1 的等边三角形，BDC 是顶角为120的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60的MDN，点 M，N 分别在 AB，AC上，求AMN 的周长练习巩固练习巩固 8.如图，在正方形 ABCD 中，BE=3，EF=5，DF=4，求BAE+DCF 为多少度。巩固练习 9、 （三新练习册 P131）如图 1，RtABCRtEDF，ACB=F=90，A=E=30EDF 绕着边 AB 的中点 D 旋转， DE，DF 分别交线段 AC 于点 M，K(1)如图 2、图 3，当CDF=0 或 60时，AM+CK_MK(填“”， “”或“”)(2)猜想：如图 1
13、，当 0CDF60时，AM+CK_MK，证明你所得到的结论(3)如果，请直接写出CDF 的度数和的值222AMCKMK AMMK*必会结论- 图形研究正方形半角模型【例】已知：正方形，、分别在边、上，且ABCDEFBCCD ，、分别交于、，连.45EAFAEAFBDHGEF一、全等关系（1）求证：；平EFBEDF22HGBHDGAE分，平分.BEFAFDFE二、相似关系（2）求证：；.DGCE2BHCF2HGEF2（3）求证：；DHBGAB2HGBGAG2.21CFDF CEBE三、垂直关系（4）求证：；.EGAG FHAH BEABHCF tan（5)、和差关系求证：；BEDGBG2DHDF
14、AD2.|2|DGBHDFBE中考链接-正方形二相关题型-半角模型EACDB1， （2016 石景山 28） 在正方形 ABCD 中，E 为边 CD 上一点，连接 BE（1）请你在图-1 画出BEM，使得BEM 与BEC 关于直线 BE 对称；（2）若边 AD 上存在一点 F，使得 AF+CE=EF，请你在图 2 中探究ABF 与CBE 的数量关系并证明；（3）在（2）的条件下，若点 E 为边 CD 的三等分点，且 CEDE，请写出求cosFED 的思路 （可以不写出计算结果） 图 1 图 2 备用图答案石景山 28（1）补全图形，如图 1 所示1 分（2）ABF与CBE的数量关系：45ABFCBE 2 分证明：连接BF，EF，延长DC到G，使得AFCG ，连接BG3 分ACDBFEACDBGFEACDBMEACDB四边形ABCD为正方形，ABBC，90ABCDABC BAFBCGBGBF ，ABFCBG EFCEAF，EFGE 4 分BEFBEGFBE=CBEABFMBE45ABFCBE 5 分（3）求解思路如下： a设正方形的边长为3a，AF为
