电场重力场复合问题的解决方法

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1、 电场和重力场复合问题 复合场问题的处理方法主要有那么几个： （1）分方向处理； （2）用能量的角度综合处理 （3）用等效场的角度处理(1) 分方向处理（类比于抛体运动） 例题：（16 分）如图所示,水平绝缘粗糙的轨道 AB 与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨 道 BC 平滑连接，半圆形轨道的半径 R04m 在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场， 电场线与轨道所在的平面平行，电场强度 E1.0104NC 现有一电荷量 q1.0104C，质量 m0.1kg 的带电体（可视为质点） ，在水平轨道上的 P 点由静止 释放，带电体恰好能通过半圆形轨道的最高点 C，然后落至水平轨道上的 D 点取 g10

2、ms2试求：（1）带电体运动到圆形轨道 B 点时对圆形轨道的压力大小； （2）D 点到 B 点的距离 xDB； （3）带电体在从 P 开始运动到落至 D 点的过程中的最大动能 处理第一问的思路：这问必须用圆周运动和能的知识处理，根据圆周运动的 特点先找到 C 点的最小速度，再用动能定理解出 B 点的速度，再根据圆周运 动把 B 点的受力情况找出来。利用动能定理找 B 点速度的时候我们可以有两个思路： 第一个从两个分力做功的角度，各个外力做功的代数和等于动能的变化量 第二个从合力的角度出发，那就必须采用等效的思路，找到等效场方向上 B 和 C 的距离，再利用合力乘以这个距离就得到和外力做的功，很

3、显然这个方 法比较麻烦，但是这恰好是本题第三问的处理方法。第二问必须要找到 D 的位置，这时候我们分水平和竖直两个方向处理就好，水平方向上粒子做以 VC 为初速度， 为加速度的匀减速运动，竖直方向为自由落体运动。qE m第三问的求解我们必须要找到最大动能点，最大动能点是 B 点吗，很明显不是，因为 从等效场类比重力场我们就发现，最大动能点应该为等效场中的最低点，那么怎么找， 首先要找到等效场，再根据等效场找到 R 点。解：（1）设带电体通过 C 点时的速度为 ，根据牛顿第二定律得：（2 分）设带电体通过 B 点时的速度为 ，设轨道对带电体的支持力大小为 ，带电体从B 运动到 C 的过程中，根据

4、动能定理： （2 分）带电体在 B 点时，根据牛顿第二定律有：（2 分）联立解得： （1 分）根据牛顿第三定律可知，带电体对轨道的压力 （1 分）（2）设带电体从最高点 C 落至水平轨道上的 D 点经历的时间为 t，根据运动的分解有：（1 分）（2 分）联立解得： （1 分）（3）由 P 到 B 带电体做加速运动，故最大速度一定出现在从 B 经 C 到 D 的过程中， 在此过程中保有重力和电场力做功，这两个力大小相等，其合力与重力方向成 45 0 夹 角斜向右下方，故最大速度必出现在 B 点右侧对应圆心角为 45 0 处。 （1 分）设小球的最大动能为 ，根据动能定理有：（2 分）解得： （1

5、 分）例例 2 如图 3 所示，在电场强度为 E 的水平匀强电场中，以初速度为竖直向上发射0v一个质量为 m、带电量为+q 的带电小球，求小球在运动过程中具有的最小速度。解析解析 建立等效重力场如图 4 所示，等效重力加速度g设与竖直方向的夹角为 ，则gcosgg 其中 22arcsin ）（）（mgqEqE则小球在“等效重力场”中做斜抛运动sin0vvxcos0vvy当小球在 y 轴方向的速度减小到零，即时，两者的0yv合速度即为运动过程中的最小速度2200minsin ）（）（qEmgqEvvvvx例例 1 1、一条长为 l 的细线上端固定在 O 点，下端系一个质量为 m 的小球，将 它置

6、于一个很大的匀强电场中，电场强度为 E，方向水平向右，已知小 球在 B 点时平衡，细线与竖直线的夹角为 30，求 （1）当悬线与竖直方向的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后， 细线到竖直位置时，小球的速度恰好为零 （2）当细线与竖直方向成 37角时，至少要给小球一个多大的速度， 才能使小球做圆周运动？（1）小球受重力、电场力和拉力处于平衡，根据共点力平衡得，qE=，解得 E= q（2）将小球由静止释放过程中，重力做正功，电场力做负功，动能的变 化量为零，根据动能定理得 mgL（1-cos）-EqLsin=0 联立式得 =2qEEBOmgTgm BOE图 2-3EBO图 2-1图 2-2v）E

7、图 3图 4xygv）gmqE另解：这里也可以采用等效单摆的思路求解，这样子问题更加简单。 例例 4 如图 7 所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点 O，用一根长度的绝缘细绳把质量为、带有正电荷的金属小球悬挂在 O 点，小球mL40. 0kgm10. 0静止在 B 点时细绳与竖直方向的夹角为。现将小球拉至位置 A 使细线水平后由静37止释放，求： 小球通过最低点 C 时的速度的大小； 小球通在摆动过程中细线对小球的最大拉力。（，）2/10smg 60. 037sin80. 037cos解析解析 建立“等效重力场”如图 8 所示， “等效重力加速度”，g方向：与竖直方向的夹角，大小：30gg

8、g25. 137cos由 A、C 点分别做绳 OB 的垂线，交点分别为 A、C，由动能 定理得带电小球从 A 点运动到 C 点等效重力做功2 21)sin(cos)(mCCOAOmvLgmLLg代入数值得m/s 4 . 1Cv（2）当带电小球摆到 B 点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为，绳上的拉Bv力为，则F 2 21sinBmvLLgm）（LvmgmFB2 联立两式子得N25. 2F 例例 5 如图 9 所示的装置是在竖直的平面内放置光滑的绝缘轨道，一带负电荷的小球 从高 h 的 A 处静止开始下滑，进入水平向右的匀强电场中，沿轨道 ABC 运动后进入圆环内做圆周运动，已知小球受到的电

9、场力是其重力的，圆环的半径为 R，小球得质量为43，斜面的倾角为，若使小球在圆环内能做完整的圆周运动，kgm1 . 045RSBC2h 至少是多少？解析解析 建立“等效重力场”如图 10 所示，等效重力场加速度g与竖直方向的夹角为，则等效重力场加速度37arctanmgqEg的大小。ggg45 cos 圆环上的 D 点成为等效重力场中的最高点，要想小球在圆环内ABOCEhABCghOD图 9图 10OABCEL图 7+gOABC AC图 8+完成圆周运动，则小球通过 D 点的速度的最小值为Rgv小球由 A 点运动到 D 点，由动能定理得2 21)sin2cot(43)cos(vmRRhmgRR

10、hmg代入数值，由两式解得RRh5 .17)25 . 35 .12(例例 6 6 半径 R=0.8m 的光滑绝缘导轨固定于竖直面内，加上某一方向的匀强电场后，带电小球沿轨道内侧做圆周运动，小球动能最大的位置在 A 点，圆心 O 与 A 点的连线与竖直方向的夹角为，如图 11 所示.在 A 点时小球对轨道的压力 FN=120N，若小球的最大动能比最小动能多 32J，且小球能够到达轨道上的任意一点（不计空气阻力）.试求：（1）小球最小动能等于多少？(2)若小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其他量不变，则小球经 0.04s 时间后，其动能与在 A 点时的动能相等，小球的质量是多少？讲析讲析 （

11、1）依题意：我们将带电小球受到的重力和电场力的等效为一个力 F（F 即为重力和电场力的合力） ，设小球动能最小位置在 B 处（该点必在 A 点的对称位置） ，此时，由牛顿第二定律和圆周运动向心力公式可得：，从 A 到2 A NvFFmRB，由动能定理得：，可解得：，2kBkAFREE40kAEJ8kBEJ20FN（2）撤去轨道后，小球将做类平抛运动（BA 方向上匀加速、垂直于 OA 方向上匀速直线 运动的合运动） ，根据机械能守恒，0.04s 后，将运动到过 A 点且垂直于 OA 的直线上.运动过程的加速度为：，根据平抛运动规律可得：，可解得：Fam2122Rat。2 0.014FtmkgR例

12、 1、如图 3-1 所示，绝缘光滑轨道 AB 部分为倾角为 30的斜面，AC 部分为竖直平面 上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。整个装置处于场强为 E、方向水平向右的匀强电场中。现有一质量为m的带正电，电量为小球，要使小球能Emgq33安全通过圆轨道，在 O 点的初速度应为多大？图 11.BER300mgqEgm N图 3-2R300图 3-1EOB图 3-3gm R300O运动特点：运动特点：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动， 受到重力、电场力，轨道作用力，且要求能安全通过圆轨道。 对应联想：对应联想：在重力场中，小球先在水平面上运动，重力不作功，后在圆轨

13、道上运动的 模型：过山车。 等效分析：等效分析：如图 3-2 所示，对小球受电场力和重力，将电场力与重力合成视为等效重力，大小，得gm 332)()(22mgmgqEgm33mgqEtg，于是重效重力方向为垂直斜面向下，得到小球在斜面上运动，等效重 30 力不做功，小球运动可类比为重力场中过山车模型。 规律应用：规律应用：分析重力中过山车运动，要过圆轨道存在一个最高点，在最高点满足重力 当好提供向心力，只要过最高点点就能安全通过圆轨道。如果将斜面顺时针转过 300，就成了如图 3-3 所示的过山车模型，最高点应为等效重力方向上直径对应的点 B，则 B 点应满足“重力”当好提供向心力即：Rmvg

14、mB2 假设以最小初速度v0运动，小球在斜面上作匀速直线运动，进入圆轨道后只有重力作功，则根据动能定理：2 02 21 212mvmvRgmB解得： 33100gRv 如图 1-1 所示，ab 是半径为R的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，匀强电场与 圆周在同一平面内。现在该平面内，将一带正电的粒子从 a 点以相同的动能抛出，抛出 方向不同时，粒子会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达 c 点时粒子的动能 最大。已知cab=30，若不计重力和空气阻力，试求： （1）电场方向与 ac 间的夹角 。（2）若小球在 a 点时初速度方向与电场方向垂直，则小球恰好能落在 c 点，那么初动 能为多大

15、？运动特点：运动特点：小球只受恒定电场力作用下的运动 对应联想：对应联想：重力场中存在的类似的问题，如图 1-2 所示，在竖直平面内，从圆周的 dabc30图 1-1de mg图 1-2abc30E图 1-3点以相同 的动能抛出小球，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所 有的点中，可知到达圆周最低点 e 时小球的动能最大，且“最低点”e 的特 点：重力方向上过圆心的直径上的点。 等效分析：等效分析：重力场的问题中，存在一个“最低点”对应的速度最大。同理恒定电场中 也是对应的“最低点”时速度最大，且“最低点”就是 c 点。 规律应用：规律应用：电场力方向即为如图 1-3 所示过圆心作一条过 c 点的直径方向，由于粒子 带正电，电场方向应为斜向上，可得 =30。解析：（1）对这道例题不少同学感到无从下手，其实在重力场中有一个我们非常熟悉的 事实：如图 1 所示，在竖直平面内，从圆周的 a 点以相同的动能抛出小球，抛出方向 不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达圆周最低点 d 时小球 的动能最大，最低点是过圆心的竖直直径的一点，根据这一事实，我们将电场等效为 重力场，那么