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1、,例4 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。,解：用能量法（外力功等于应变能）,求内力,A,P,R,外力功等于应变能,变形能：,即，在上述条件下，弹性体内的变形能与外力加载的次序（加载路径）无关。,在线弹性范围内，外力按比例加载以及小变形条件下，存储在弹性体内的变形能可以表示为，,135 卡氏定理,给Pn 以增量 dPn ，则：,2.先给物体加力 dPn ，则：,一、定理证明,1. 先给物体加P1、 P2、 Pn 个力，则：,再给物体加P1、 P2、Pn 个力，则：,略去,意大利工程师阿尔伯托卡斯提安诺(Alberto Castigliano， 1847
2、1884),线弹性结构的变形能对于任一独立广义外力的偏导数等于相应于该力的广义位移 ，即卡氏第二定理,卡氏第二定理,二、使用卡氏定理的注意事项：,V整体结构在外载作用下的线弹性变形能, Pn 视为变量，结构反力和变形能等都必须表示为 Pn的函数, n为 Pn 作用点的沿 Pn 方向的变形。, 当无与 n对应的 Pn 时，先加一沿 n方向的 Pn ，求偏导后， 再令其为零。,三、特殊结构（杆）的卡氏定理：,变形,求内力,解：求挠度，建坐标系,将内力对PA求偏导,A,L,P,EI,例1 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。,求转角 A,求内力,没有与A向相对应的力（广义力），加之。,“负号”
3、说明 A与所加广义力MA反向。,将内力对MA求偏导后，令M A=0,求变形（ 注意：M A=0）,L,x,O,A,P,MA,-,例6 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。,解：求挠曲线任意点的挠度 f（x）,求内力,将内力对Px 求偏导后，令Px=0,没有与f（x）相对应的力，加之。,P,A,L,x,C,变形（ 注意：Px=0）,课本P40例题13.5、13.6、13.7和13.8,136 虚功原理,1 虚位移,对于刚体：约束条件许可的无限小位移,对于变形体：约束条件和变形协调条件许可的无限小位移,以弹性杆件说明：在一组广义力作用下平衡的结构，在其它某种因素作用下产生微小的可能位移 。图中虚线表
4、示的位移，是在平衡位置基础上再增加的位移，在虚位移中，杆件的外力和内力保持不变，而且始终是平衡的，虚位移应满足边界条件和连续性条件，并且符合小变形要求。虚位移 应是连续函数。,二、虚功杆件上的力由于虚位移而完成的功。把所有微段的内力、外力虚功诸段相加（积分），便可求得整个杆件的外力和内力的总虚功。因为虚位移是连续的，两个相邻微段的公共截面的位移和转角是相同的，但相邻微段公共截面上的内力却大小相等、方向相反（作用力和反作用力力），故它们所作的虚功相互抵消，即杆件上所有内力所做的虚功之和为零，故杆件的总虚功即为外力在虚位移上所做的虚功。,另一种计算总虚功的方法：研究一微段，微段以外的其余部分的变形
5、，使所研究的微段得到刚性虚位移，微段上的力系为一平衡力系，根据质点系的虚位移原理，这一平衡力系在刚性虚位移上所做的虚功总和为0，因而只剩下在虚变形中所做的虚功。,2、 虚功原理,对于刚体：平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所作的虚功之和为零,对于变形体：平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所作的虚 功恒等于内力在虚变形上的虚功（虚变形位能）,相应虚广义位移和虚变形为：,虚功原理：在外力作用下处于平衡的梁，任意给它一个虚位移，则外力在虚位移上所作的外力虚功等于梁的内力在虚变形上所作的虚变形功或内力虚功。,在小变形情况下虚功原理适用于一般可变形体。,以整体为对象计算，虚功为：,将杆件视为无数微段的组合，虚功为：,课本P46例题13.9,
