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1、1,第十一章 弯曲应力,材料力学,如AB段梁受弯时，横截面上只有弯矩而没有剪力，该段梁的变形称为纯弯曲。,弯曲应力,P,P,a,a,A,B,Q,M,x,x,纯弯曲：,+,+,剪切弯曲：,某段梁弯曲时横截面上既有弯矩又有剪力。,P,P,Pa,Pa,11-1 引言,11-2 梁横截面上的正应力,弯曲应力,一、纯弯曲变形现象观察,（1）所有纵向线都变成了曲线，且仍然相互平行，靠近上部的缩短，下部伸长。,（2）所有横向线仍保持为直线，(平面假设) 且仍垂直于变形后的纵向线(无剪应变-无剪应力)。,4,弯曲应力,由（1）知上部的纤维缩短，下部的纤维伸长，中间必有一层纤维既不缩短也不伸长，这一层称为中性层
2、。中性层与横截面的交线称为中性轴。 在梁的横截面上，以中性轴为界，一侧受拉，另一侧受压。,弯曲应力,二、弯曲正应力计算公式的推导,（一）变形几何关系：,如图：OO1为中性层，AB为距中性层为y的纵向纤维，设：变形后中性层的曲率半径为 ，两横截面夹角为d，则有：,对于给定截面，为常数，右式表明，横截面上某点的纵向应变与该点到中性轴的距离成正比。,dx,横截面的正应力分布图,（二）物理关系：,弯曲应力,纵向纤维都在纵向受拉伸或压缩，其应力-应变关系满足胡克定律。, 横截面上任一点的正应力与其到中性轴的距离成正比。,7,（三）静力学关系：,横截面上的微力 dA 组成平行于x轴的空间平行力系，满足以下
3、三个静力关系：,（1）,横截面对中性轴 z 轴的静矩为零,即中性轴过截面形心,弯曲应力,8,一、静矩的定义(与力矩类似),静矩与形心,静矩与截面形状、大小、轴的位置有关静矩的量纲： 长度3 （m3,cm3,mm3） 静矩可能为正为负或等零。,9,二、静矩与形心的关系,形心坐标,由力矩的等效关系得到静矩的另一公式：,若z、y轴通过形心C，则 yC=zC=0，因此Sz=Sy=0。,即：截面对其形心轴的静矩等于零。反之，若截面对某轴的静距为零，则该轴必过其形心。,弯曲应力,EIz梁的抗弯刚度,（2）,曲率计算公式,因此,截面对中性轴的惯性矩,纯弯曲时梁横截面上任一点的正应力计算公式,11,1. 应用
4、正应力计算公式时，可不考虑M、y的正负号，以绝对值代入，最后再由梁的变形和点的位置来确定是拉应力还是压应力。,2.对于剪切弯曲，剪力的存在对正应力分布规律的影响很小，因此上述的正应力计算公式也适用于剪切弯曲。,3. 只要梁有一个纵向对称面（如：工字形、T字形、圆形等），且外力作用下发生平面弯曲，则上述的正应力计算公式仍然适用。,12,*典型截面惯性矩的计算,1、矩形截面,同理,11-4 惯性矩与平行移轴定理,13,2、实心圆截面,已知,则,由对称性知,所以,同理，空心圆截面,14,平行移轴定理（与转动惯量类似）,以形心C为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴 zC , yC则某微元dA在两坐标系的
5、位置关系为：,15,注意： 1、 C点必须为形心，即：zC、yC必须是形心轴。 2、式中的a、b是代数值。（可能取负值。）,同理可得,b为轴z与zC的轴距,a为轴y与yC的轴距,平行移轴公式：,（四）最大正应力：,弯曲应力,矩形截面：,实心圆截面：,空心圆截面：,Wz抗弯截面模量,例1 受均布载荷作用的简支梁试求：（1）11截面上1点的正应力；及此截面上的最大正应力； （2）全梁的最大正应力； （3）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。,弯曲应力,解：画M图,求截面弯矩,弯曲应力,求应力,求曲率半径,弯曲应力,20,弯曲应力,解：,确定中性轴的位置,单位：cm,计算最大正应力,11-4
6、 梁横截面上的剪应力,2、两点假设：与中性轴等距处，其剪应力相等。 剪应力与剪力平行；,1、研究方法：隔离体平衡。 在梁上取微段，如图b； 微段上取一隔离体, 如图c。,弯曲应力,Q(x)+dQ(x),M(x),y,M(x)+dM(x),Q(x),dx,图a,图b,图c,由隔离体平衡条件，得,A*隔离体侧面面积,弯曲应力,Q(x)+dQ(x),M(x),y,M(x)+dM(x),Q(x),dx,图a,图b,图c,由剪应力互等定理，得,同理,得,为隔离体的侧面积A*对中性轴z的静矩,b 截面的宽度,Iz 全横截面对中性轴z的惯性矩,A*,23,对于矩形截面，有,将 代入,剪应力沿截面高度按二次抛
7、物线规律分布,如图示。,可见，在横截面的上下边缘，即 处，,在中性轴( y=0处),剪应力最大,弯曲应力,其它截面梁横截面上的剪应力,*研究方法与矩形截面同,剪应力的计算公式亦为：,其中: Q 截面剪力； Sz* 横截面上距中性轴为y横线以外部分的面积A*对中性轴z的静矩； Iz 整个截面对中性轴z轴之惯性矩； b y点处截面宽度。,25,*几种常见截面的最大弯曲剪应力,1、工字形截面梁的剪应力,I.腹板上的剪应力,腹板内距中性轴为y的点的剪应力为：,可见,腹板的剪应力按二次抛物线规律分布。,弯曲应力,26,在中性轴(y=0),剪应力最大,最大值为,在腹板与翼缘交界处 ,剪应力最小,通常情况下
8、，腹板厚度b远小于翼缘宽度B，因此， 与 相差不大，从而可认为腹板上的剪应力大致为均匀分布。,弯曲应力,27,又，有关理论证明，工字形截面梁的腹板承受的剪力Q1(0.950.97)Q，这表明横截面的剪力绝大部分由腹板承担，翼缘只承担极小的一部分（通常可忽略不计，而认为剪力全部由腹板承担）。因此，工字形截面梁的腹板上的剪应力可近似计算如下：,（bh为腹板的横截面面积）,II.翼缘上的剪应力,由前述知，翼缘所承担的剪力Q2(0.030.05)Q ，即翼缘只承担极小的一部分剪力，因而其剪应力也小，又由于其剪应力分布规律复杂，故通常忽略不计。,弯曲应力,弯曲应力,I.圆形截面：,式中: Q为截面的剪力
9、; A为圆截面面积.,可见，圆形截面上的最大剪应力是平均剪应力的 倍。 与精确解相比，误差约为4% 。,2、圆形和圆环形截面梁,最大剪应力也都发生在中性轴上,且沿中性轴均匀分布。 其值分别为：,II.圆环形截面：,式中：Q为截面的剪力，r0为圆环的平均半径，t为圆环的壁厚，A为圆环形截面面积。,可见，圆环形截面上的最大剪应力是平均剪应力的2倍。,11-5 梁的正应力和剪应力强度条件,弯曲应力,一、梁的弯曲正应力强度条件：,(A)拉压许用应力相同（塑性材料）的梁 最大正应力（绝对值）应在许可应力范围之内。即：,危险截面和危险点的判定（等截面梁）,危险截面弯矩绝对值最大的截面,危险点危险面上距中性
10、轴最远点,弯曲应力,(B)拉压许用应力不等（脆性材料）的梁 最大压应力（绝对值）应分别小于许用应力：,危险截面和危险点的判定（等截面梁）,I)Z为对称轴时(如矩形)，+max与-max在同一截面上。,危险截面弯矩绝对值最大的截面,危险点危险截面的最上缘和最下缘,II)Z轴不是对称轴时(如T形截面), +max与-max可能不在同一截面上。,可能危险截面最大正弯矩、最大负弯矩所在截面,可能危险点可能危险截面的最上缘或最下缘,31,二、梁的剪应力强度条件：,梁在荷载作用下产生的最大剪应力不能超过材料的许用剪应力,即：,进行梁的正应力强度和剪应力强度计算时, 一般对于细长梁（梁的跨度与截面高度之比l
11、/h5 ）, 梁的强度主要由正应力强度条件控制,因此,选择梁的截面时,一般是先按正应力强度条件进行选择,选好截面后,再校核剪应力强度条件。但对于下列情况： （1）粗短梁；（2）支座附近有较大集中力的梁； （3）腹板较薄的工字梁；（4）木梁（顺纹抗剪能力差）。梁的剪应力强度条件可能会起控制作用，一般还要进行剪应力强度校核。,32,工字型截面梁发生剪切弯曲时，正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该处的剪应力为零；剪应力的最大值发生在中性轴上，该处的正应力为零。在腹、翼相交处，Q和M均很大，是可能的危险点，它的强度应按强度理论进行计算（第13章讲）。,弯曲应力,三、强度条件应用： 依此强度条件可进
12、行三方面计算：,解：画内力图求危面内力,例 矩形(bh=0.12m0.18m)截面木梁，=7MPa，=0.9MPa，试求最大正应力和剪应力之比，并校核梁的强度。,弯曲应力,A,B,L=3m,求最大应力并校核强度,应力之比,弯曲应力,解：画弯矩图并求危面内力,例 T 字形截面的铸铁梁受力如图,铸铁的 +=30MPa, -=60 MPa，其截面形心位于G点，y1=52mm, y2=88mm,Iz=763cm4，试校核此梁的强度。,弯曲应力,画危面应力分布图，找危险点,校核强度,弯曲应力,画危面应力分布图，找危险点,38,例：悬臂梁由三块木板粘接而成。长度为1m。胶合面的许可切应力为胶=0.34MP
13、a，木材的=10MPa，=1MPa，求许可载荷。,弯曲应力,39,弯曲应力,解：,1.作梁的剪力图和弯矩图,40,2.按正应力强度条件计算许可载荷,3.按切应力强度条件计算许可载荷,弯曲应力,41,4.按胶合面切应力强度条件计算许可载荷,5.梁的许可载荷为,弯曲应力,42,弯曲应力,所谓梁的合理设计，指的是在满足梁的强度要求前提下，尽量少用材料。 对于梁来说，弯矩处于主导地位、剪力是次要因素，因此，梁的设计，主要是依据弯曲正应力的强度条件进行设计的，我们也仅从弯曲正应力强度条件出发讨论梁的合理截面。,11-6 梁的合理设计,43,弯曲应力,弯曲正应力强度条件,提高弯曲强度的方法可从两个方面考虑
14、：,1 外荷载总值不变的情况下，使Mmax尽量小一些。,2 截面积不变的情况下，使Wz尽量大一些。,44,弯曲应力,提高弯曲强度的常用措施,一、降低Mmax,1. 合理配置荷载,尽量将集中力分散为几个较小的集中力或均布力。,45,弯曲应力,q,L,0.2L,0.2L,M,M,L,2. 合理配置支座,q,46,弯曲应力,二、提高Wz(在保持截面面积不变的前提下),P,b,h,P,b,h,(1),(2),1、合理放置截面,47,弯曲应力,2. 尽量将材料放置到远离中性轴的地方,48,弯曲应力,49,弯曲应力,工字型截面优于矩形截面，矩形截面优于圆形截面。 圆环形截面优于圆形截面。,工程中，可将 作
15、为衡量截面合理性的指标。,(d=h),50,弯曲应力,3.选择截面形状时还应考虑材料特性,塑性材料：,选择中性轴为对称轴的截面，使得：,脆性材料：,选择中性轴为非对称轴的截面，并使中性轴偏于材料强度弱的一边。,尽量使得,y1,y2,51,三、使用等强度梁,梁上每个截面的最大正应力都等于，称为等强度梁。,弯曲应力,52,弯曲应力,53,弯曲应力,例主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料和截面尺寸均相同，则副梁的最佳长度a为多少？,54,弯曲应力,解：,主梁AB:,55,弯曲应力,副梁CD:,由,得,56,弯曲应力,例：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为t和c，则 y1 和 y2 的最佳比值为多少？（为截面形心）,最佳就是指梁危险截面上最大弯曲拉压应力同时达到许用应力。,
