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1、课程回顾,1. 自动控制的一般概念基本控制方式控制系统的基本组成控制系统的分类对控制系统的要求2. 要求掌握的知识点负反馈控制系统的特点及原理由系统工作原理图绘制方框图,自动控制原理课程的任务与体系结构,第二章 控制系统的数学模型,时域模型微分方程 复域模型传递函数 频域模型频率特性函数 本课讨论的物理系统为单输入单输出的线性定常系统,2.1 引言,数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。 建模方法： 1.解析法（机理分析法）根据系统工作所依据的规律列写相应的运动方程 2.实验法（系统辨识法）给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输
2、出特性,2.2 控制系统的时域数学模型,线性定常系统微分方程的一般形式,一、线性元件的微分方程,例1 RLC串联电路,一、线性元件的微分方程,例2电枢控制式直流电动机,电枢回路：,电枢反电势：,电磁力矩：,力矩平衡：,电机时间常数 电机传递系数,一、线性元件的微分方程,例3 弹簧阻尼器系统,一、线性元件的微分方程,消去中间变量可得：,例4 X-Y 记录仪,二、非线性微分方程的线性化,取一次近似，且令,即有,例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。,解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数,二、非线性微分方程的线性化,解. 在 处泰勒展开，取一次近似,代入原方程可得,在平衡点
3、处系统满足,上两式相减可得线性化方程,例4 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Qr 满足方程式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Qr 在其工作点附近做微量变化，试导出 h 关于 Qr 的线性化方程。,三、线性定常微分方程求解,四、拉普拉斯变化,1.拉氏变换的定义2.常见函数的拉氏变换 （1）阶跃函数,四、拉普拉斯变化,（2）指数函数,四、拉普拉斯变化,（3）正弦函数,四、拉普拉斯变化,3.拉氏变换的性质： （1）线性性质 （2）滞后定理证明：,令,四、拉普拉斯变化,例1,解：,四、拉普拉斯变化,（3）微分定理证明：,零初始条件：,四、拉普拉斯变化,例2,解：,例3,解：,四、拉普拉斯
4、变化,（4）积分定理,零初始条件下：,四、拉普拉斯变化,例4 Lt=?,解：,例5,解：,四、拉普拉斯变化,（5）复位移定理,令,证明：,例6,四、拉普拉斯变化,例7,四、拉普拉斯变化,（6）初值定理,证明：,微分定理,四、拉普拉斯变化,（7）终值定理,证明：,四、拉普拉斯变化,（2）单位阶跃,常见函数L变换,（5）指数函数,（1）单位脉冲,（3）单位斜坡,（4）单位加速度,（6）正弦函数,（7）余弦函数,四、拉普拉斯变化,4.用拉氏变换的方法解微分方程：,四、拉普拉斯变化,: 特征根（极点）,: 相对于 的模态,五、拉普拉斯反变化,拉氏反变换公式部分分式法,解.,五、拉普拉斯反变化,用留数法
5、分解部分分式,一般有,其中：,设,I. 当 无重根时,五、拉普拉斯反变化,解.,解.,五、拉普拉斯反变化,解一.,解二：,五、拉普拉斯反变化,II. 当 有重根时,(设 为m重根，其余为单根),五、拉普拉斯反变化,五、拉普拉斯反变化,解.,线性定常微分方程求解,例6 R-C 电路计算,影响系统相应的因素,(1) 输入 u r (t),(2) 初始条件,(3) 系统的结构参数, 规定 r(t) = 1(t), 规定0 初始条件, 自身特性决定系统性能,2.3 控制系统的复域数学模型,传递函数的定义：在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。,传递函数的标准形式,微分方程一般
6、形式：,拉氏变换：,传递函数：, 首1标准型：, 尾1标准型：,传递函数的标准形式,例7 已知,将其化为首1、尾1标准型，并确定其增益。,解.,首1标准型,尾1标准型,增益,传递函数的性质,G(s)是复函数； G(s)只与系统自身的结构参数有关； G(s)与系统微分方程直接关联； G(s) = L k(t) ； G(s) 与 s 平面上的零极点图相对应。,传递函数的性质,例8 已知某系统在0初条件下的单位阶跃响应为：试求（1） 系统的传递函数；（2） 系统的增益；（3） 系统的特征根及相应的模态； （4） 画出对应的零极点图； （5） 求系统的单位脉冲响应；（6） 求系统微分方程； （7） 当
7、 c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) 时，求系统的响应。解.（1）,(2),(4) 如图所示,(3),(5),(6),（2） 系统的增益； （3） 系统的特征根及相应的模态 （4） 画出对应的零极点图； （5） 求系统的单位脉冲响应； （6） 求系统微分方程；,（7）,其中初条件引起的自由响应部分,（7）当 c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t)，求系统响应。,传递函数的局限性,原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息；适合于描述单输入/单输出系统；只能用于表示线性定常系统。,传递函数,例1 系统如图，被控对象微分方程为,求系统传递函数 。,解.,(1) 求
8、G0(s),(2)由运放,传递函数,整理得,常用控制元件的传递函数,电位计 电桥式误差角检测器 测速发电机（交流，直流） 电枢控制式直流电动机,电位器,电桥式误差角(位置)检测器,测速发电机,电枢控制式直流电动机,典型环节,比例环节 微分环节 积分环节 惯性环节 振荡环节 一阶复合微分环节 二阶复合微分环节,常用控制元件的传函,不同的元部件可以有相同的传递函数； 若输入输出变量选择不同，同一部件可以有不同的传递函数 ； 任一传递函数都可看作典型环节的组合。,控制系统的数学模型,2.4控制系统的结构图及其等效变换,结构图的组成及绘制,结构图的绘制,反馈口：,例1 X-Y 记录仪,放大器：,电动机
9、：,减速器：,绳 轮：,电 桥：,测速机：,结构图的绘制,结构图等效变化及化简,环节串联,结构图等效变化及化简,环节并联,结构图等效变化及化简,反馈等效,结构图的绘制,电磁力矩：,电枢反电势：,电枢回路：,力矩平衡：,例2 电枢控制式直流电动机,直流电动机结构图,结构图等效变化及化简,结构图等效变化及化简,比较点、引出点的移动,结构图等效变化及化简,比较点前移,结构图等效变化及化简,比较点后移,结构图等效变化及化简,引出点前移,结构图等效变化及化简,引出点后移,结构图等效变化及化简,比较点、引出点换位,结构图等效变化及化简,例3,结构图等效变化及化简,例4,结构图等效变化及化简,例5,结构图等
10、效变化及化简,结构图等效变化及化简,例6,结构图等效变化及化简,例7,2.5信号流图,信号流图与结构图的对应关系 信号流图 ： 结构图：源节点 输入信号阱节点 输出信号混合节点 比较点，引出点支路 环节支路增益 环节传递函数 前向通路回路互不接触回路,结构图与信号流图转换,结构图与信号流图转换,r,e,a1,a2,a3,a4,c,梅森（Mason）增益公式,Mason公式: 特征式 前向通路的条数 第k条前向通路的总增益 所有不同回路的回路增益之和 两两互不接触回路的回路增益乘积之和 互不接触回路中，每次取其中三个的回路增益乘积之和 第k条前向通路的余子式(把与第k条前向通路接触的回 路去除，剩余回路构成的子特征式,例1,例2求传函C(s)/R(s),例3,例4,例5,2.6闭环系统的传递函数,闭环系统的结构图,2.6闭环系统的传递函数,闭环系统的结构图,2.6闭环系统的传递函数,闭环系统的结构图,特征方程是闭环传递函数的分母为零 规则：分子是前向通道所有传函相乘分母是闭环上所有传函相乘反号加1，也就是1+开环传函,开环传函：,作业：P64P692-2(a)(c)；2-3；2-5(1)(2)；2-10；2-11；2-13；2-17任选3个；2-18；2-19(c)(e)；2-21(a),
