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1、 寒假课程高一数学1第六讲 函数与方程一、课标解读：1.了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间；2.能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；3.根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解；4.体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式 二、知识梳理：方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点1.函数零点的概念：对于函数把使成立的实数x叫做函的零点. yf xxD 0f x yf xxD2.函数零点的意义：函数)(xfy 的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy 的图象与x轴交点的横坐标.即方程0)(x
2、f有实数根函数)(xfy 的图象与x轴有交点函数)(xfy 有零点3.二次函数的零点：二次函数)0(2acbxaxy时，方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两0 个零点，方程02cbxax有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个0 二重零点或二阶零点，方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点 0 三、方法归纳：1 1、函数零点的求法：、函数零点的求法：（1） （代数法）求方程0)(xf的实数根；（2） （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点2 2
3、、对于一元二次方程根的分布问题，可以利用一元二次方程和二次函数的关系，借助图象来处理、对于一元二次方程根的分布问题，可以利用一元二次方程和二次函数的关系，借助图象来处理. . 四、课堂例题精讲：寒假课程高一数学21.若函数的两个零点是 2 和 3，则函数的零点是_ 2f xxaxb 21g xbxax答案：和1 21 3解析：由题意，得，解得.22220330abab5 6a b ，令，很容易得到其零点为和. 2651g xxx 0g x 1 21 32.求函数132)(3xxxf零点的个数为 .答案：3解析：因332( )2312212 (1)(1)f xxxxxxx xx 2(1)(221
4、)xxx，又22210xx 显然有两个实数根，故132)(3xxxf共三个零点.3.已知的图象如图所示，今考虑，则方程11yx xx 110.01f xx xx 0f x 有三个实根；当时，恰有一实根（有一实根且仅有一实根） ；1x 当时，恰有一实根；10x 当时，恰有一实根；01x当时，恰有一实根1x 则正确结论的编号为 .答案：解析：，即， 22310.015.990f 10.010f 210ff在内有一个实根2, 1由图中知，方程在上只有一个实根，所以正确； 0f x , 1 又，由图知在上没有实数根，所以不正确； 00.010f 0f x 1,0又，即，0.50.50.51.50.01
5、0.3650f 10.010f 0.510ff所以在上必有一个实根， 0f x 0.5,1又，在上也有一个实根 0.500ff 0f x 0,0.5在上有两个实根，不正确； 0f x 0,1由且在上是增函数，在上没有实根不正确 10f f x1, 0f x 1,并且由此可知也正确4.若函数（且）有两个零点，则实数 a 的取值范围是 . xf xaxa0a 1a 答案：1a解析：设函数(0,xyaa且）和函数yxa，1a 寒假课程高一数学3则由函数（且）有两个零点，知 xf xaxa0a 1a 函数(0,xyaa且）与函数yxa有两个交点，1a 由图象可知当10 a时两函数只有一个交点，不符合，
6、当1a时，函数(1)xyaa的图象过点，0,1而直线yxa所过的点一定在点的上方，所以一定有两个交点.0,1所以实数 a 的取值范围是1a.5.当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：（1）方程2340axxa的两根都小于1；（2）方程022 axx至少有一个实根小于1解析：（1）当0a 时，0x 满足题意 当0a 时，设2( )34f xaxxa. 若要方程两根都小于 1，只要 233 9 16044 331022 3(1)005aaaaa afaa 即即304a综上，方程的根都小于 1 时，304a（2）设2( )2f xxax，若方程的两个实根都小于，1则有 2802 22
7、 21223( 1)0aaaaaaf 即 2 23a若方程的两个根一个大于1，另一个小于1，则有( 1)30fa，3a 若方程的两个根中有一个等于1，由根与系数关系知另一根必为2，12a ，3a 综上，方程至少有一实根小于1时，2 2a 6.已知二次函数2( )f xaxbxc和一次函数( )g xaxb，其中abc，且(1)0f，（1）求证：两函数( )f x、( )g x的图象交于不同两点A、B；（2）求线段AB在x轴上投影11AB长度的取值范围寒假课程高一数学4解析：（1）(1)0fabc，abc，0a ，0c 由2yaxbxcyaxb即即即即即得2()0axba xcb ，因为2()4
8、0baac ，所以两函数( )f x、( )g x的图象必交于不同的两点；（2）设11( ,)A x y，22(,)B xy，则2 11|AB 22 12()(2)4cxxa0abc，abc，122c a ，11|AB （23，32） 7.关于 x 的二次方程在区间上有解，求实数 m 的取值范围2110xmx 0,2解析：设， 211f xxmx0,2x若在区间上有一解，则应有， 0f x 0,2 010f 20f又，解得. 222121fm3 2m 若在区间上有两解， 0f x 0,2则，即，解得 0 1022 20mf 21403141210mmm 312m 由可知.1m 五、课堂训练：1
9、.已知函数有零点，则 a 的取值范围是_ 2xf xexa答案：,2ln22解析：设，当两条曲线相切时，函数有零点，再通过图像即可得到答案. xg xe 2h xxa2.设全集为 R，集合 |sin(2),642Ay yxx，集合|RBa关于 x 的方程012 axx的根一个在上，另一个在上. 求（RA）（RB）.0,11,2解析：由2422xx即，512,sin(2)136626xx，即1 |12Ayy，RA1 |12y yy即寒假课程高一数学5又关于 x 的方程 012 axx的根一个在上，另一个在上，0,11,2设函数1)(2axxxf，则满足(0)0,20(1)0,520(2)0,fa
10、faf即，522a 5 |22RBa aa 即（RA）（RB）15 | 2122xxxx 即即3.设1x与2x分别是实系数方程20axbxc和20axbxc的一个根，且1212,0,0xxxx ，求证：方程202axbxc有且仅有一根介于1x和2x之间.解析：令2( ),2af xxbxc由题意可知22 11220,0axbxcaxbxc故22 1122,bxcaxbxcax 则2222 111111( ),222aaaf xxbxcxaxx 2222 2222223(),222aaaf xxbxcxaxx因为120,0,0axx12() ()0f xf x，即方程202axbxc有且仅有一根
11、介于1x和2x之间.4.已知函数有且仅有一个零点，求 m 的取值范围，并求出该零点 421xxf xm解析：有且仅有一个零点，即方程仅有一个实根 421xxf xm 22210xxm 设，则.20xt t210tmt 当 0 时，即 m240，2m 当 m2 时，t1；m2 时，t1（不合题意，舍去） ，2x1，解得 x0 符合题意当 0 时，即 m2 或 m0 的解集是_寒假课程高一数学63.若函数2( )4f xxxa的零点个数为3，则a _.4.当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围： （1）方程2270xaxa的两个根一个大于 2，另一个小于 2；（2）方程22(4)25
12、30xaxaa的两根都在区间 1,3上；（3）方程227(13)20xaxaa的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；5.已知 a 是实数，函数 f（x）2ax22x3a.如果函数 yf（x）在区间1，1上有零点，求 a 的取值范围参考答案：参考答案：1.或6m 2m 2. x|320，即（4x22x6）02x2x30，故解集为x|32 x 13. 答案：3解析：作出函数24yxx与函数4y 的图象，发现它们恰有3个交点.4. 解析：（1）设22( )70f xxaxa，其图象为开口向上的抛物线若要其与x轴的两个交点在点(2,0)的两侧，只需(2)0f，即24270aa， 13a （2）设22( )(4)253f xxaxaa则方程两个根都在 1,3 上等价于：222( 1)0 340(3)0 0413622 4(32)0()02f aaf aaa a aaf 01a 寒假课程高一数学7（3）设22( )7(13)2f xxaxaa，则方程一个根在(0,1)上，另一根在(1,2)上等价22220(0)0 (1)0280 (2)030aaf faa faa 12 2403aa aaa 即即21a 或34a5.解析：当0a 时，( )23f xx ，显然在
