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1、第四节 等可能概型(古典概型),排列组合公式 古典概型 典型例题 小结,古典概型的常用的几种类型： 1 分球入盒问题 2 抽球问题 3 分组问题 4 随机取数问题等,二、典型例题,例2.球放入杯子模型(分球入盒),(1)杯子容量无限,问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.,解：4个球放到3个杯子的所有放法为,第1、2个杯子中各有两个球的所有放法为,因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为,y,(2) 每个杯子只能放一个球,问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能 放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率.
2、,解,第1至第4个杯子各放一个球的概率为,y,“球放入杯子模型”可应用于很多类似场合,人,房子,信封,信,钥匙,门锁,女舞伴,生日,人,男舞伴,（生日问题）假定每个人在一年365天中的任一天出生都是等可能的, 那么随机选取n(小于365)个人,求他们的生日各不相同的概率。,n个人生日各不相同的概率为,故n个人中至少有2人生日相同的概率为,解,y,课堂练习,1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.,2o （分球入盒） 将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）.,思考: 恰有n个盒子
3、，其中各有一球的概率。,y,例3. 摸球模型(抽球问题),(1) 无放回地摸球,问题1设袋中有M个白球和 N个黑球, 现从袋中无放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m个白球,n个黑球的概率?,y,问题1设袋中有M个白球和 N个黑球, 现从袋中无放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m个白球,n个黑球的概率?,样本点总数为,A 所包含的样本点个数为,解,设A=所取球恰好含m个白球,n个黑球,y,问题1设袋中有M个白球和 N个黑球, 现从袋中无放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m个白球,n个黑球的概率?,解,设A=所取球恰好含m个白球,n个黑球,样本点总数为,A 所包含的样本点个数为,
4、y,(2) 有放回地摸球,问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次摸到红球的概率.,解,样本点总数为,A 所包含样本点的个数为,y,课堂练习,1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,求各位数字互不相同的概率.,2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的 概率.,y,例4（分组问题） 将15名同学(含3名女同学),平均分成一二三组.求 (1) 每组有1名女同学的概率？ (2) 3名女同学同组的概率？,解,15名同学平均分配到三组中的分法总数为:,y,(1) 每一组各分配到一名女同学的分法共有,例4（分组问题） 将15名同学(含3名女同学)
5、,平均分成一二三组.求 (1) 每组有1名女同学的概率？ (2) 3名女同学同组的概率？,因此所求概率为,y,(2)将3名女同学分配在同一组的分法共有3种,对于每一种分法,其余12名同学的分法有,因此3名女同学分配在同一组的分法共有,因此所求概率为,例4（分组问题） 将15名同学(含3名女同学),平均分成一二三组.求 (1) 每组有1名女同学的概率？ (2) 3名女同学同组的概率？,y,例5 设有 N 件产品，其中有 M 件次品，今从中 任取 n 件，问其中恰有 k ( k M ) 件次品的概率 是多少?,又在 M 件次品中取 k 件,所有可能的取法有,在 N-M 件正品中取 n-k 件, 所
6、有可能的取法有,在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有,y,于是所求的概率为：,此式即为超几何分布的概率公式。,由乘法原理知：在 N 件产品 中取 n 件，其中 恰有 k件次品的取法共有,又在 M 件次品中取 k 件,所有可能的取法有,在N-M 件正品中取 n-k 件, 所有可能的取法有,在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有,y,例5 设有 N 件产品，其中有 M 件次品，今从中 任取 n 件，问其中恰有 k ( k M ) 件次品的概率 是多少?,2） 有放回抽样,而在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有,从 N 件产品中有放回地抽取n 件产品进行排,可能的排列数为N
7、 n个,将每一排列看作基本事件,总数为N n .,y,2） 有放回抽样,于是所求的概率为：,此式即为二项分布的概率公式。,而在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有,从 N 件产品中有放回地抽取n 件产品进行排列,可能的排列数为N n个,将每一排列看作基本事件,总数为N n .,y,例6: 某厂家称一批数量为1000件的产品的次品率为5%. 现从该批产品中有放回地抽取了30件,经检验发现有次品5件,问该厂家是否谎报了次品率？,解：,假设这批产品的次品率为5%, 那么1000件产品中有次品为50件. 这时有放回地抽取30件, 次品有5件的概率为,二项分布,y,人们在长期的实践
8、中总结得到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”（称之为实际推断原理）。现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断该厂家谎报了次品率。,一般概率在0.05以下的事件，称为小概率事件。,理解 (1)由实际推断原理知道，小概率事件在一次试验中几乎是不发生的；,(2)但在不断地独立重复试验中，小概率事件迟早发生的概率为1。,y,例7(随机取数问题) 在12000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少 ?,设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件 “取到的数能被8整除”则所求概率为,解,y,y,于是所求概率为,y,例7 从 19 这 9 个
9、数中有放回地取出 n 个. 试求取出的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率 解：A =取出的 n个数的乘积能被 10 整除；B = 取出的 n个数至少有一个偶数 ；C =取出的 n 个数至少有一个 5 则 A = B C.,y,例8 将 n个男生和m个女生(mn) 随机地排成一列,问任意两个女生都不相邻的概率是多少？,解：,首先先排n个男生的排法共有n!种，,再排m个女生，,所以，,n+m个学生随机地排成一列共有排法(n+m)!种,总共排法有 种。,思考题：如果这n+m个学生不是排成一列，而是排成一个圆状，首尾相接，这时，任意两个女生都不相邻的概率是多少？,y,例9：从5双不同的鞋子中任取4
10、只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？,解：,首先间接考虑，分别用组合和排列来做：考 虑对立事件， 4只中没有两只配成一双,y,例9:从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？,解：,首先间接考虑，分别用组合和排列来做：考 虑对立事件， 4只中没有两只配成一双,组合：,排列：,y,例9:从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？,解：,其次也可以直接考虑, 用组合来做： A=4只中恰有两只配成一双4只中恰好配成两双,组合：,思考：,(),y,说明：从上例得出一个结论：在计算样本空间的
11、 样本点总数和事件的样本点总数时，必须在同一 个确定的样本空间考虑，故其中一个考虑顺序， 另一个也必须考虑顺序，否则结果一定不正确。,既然同一个随机现象可用不同的样本空间来描述， 因此对同一个概率也常常有多种不同的求法，应 逐步训练自己能采用最简便的方法解题。,1、古典概型的共同特点是： 样本空间的元素只有有限个； 每个基本事件发生的可能性相同。即“ 有限等可能”。,2、计算公式：,3、古典概率的常用的几种类型：1) 抽球问题； 2) 分球入盒问题；3) 分组问题； 4) 随机取数问题等。,小结,y,条件概率 乘法定理 全概率公式和贝叶斯公式 例题详解 小结,第五节 条件概率,一、条件概率,在
12、解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,即已知事件B已经发生，要求另一事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,以前对概率的讨论总是在一组固定的 条件限制下进行的，除此之外再无别的信 息可供使用，可是,P(A )=1/6，,例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,P(A|B)=？,已知事件B发生，此时试验 所有可能结果构成的集合就是B，,于是P(A|B)= 1/3.,B中共有3个元素，它们的出现是 等可能的，其中只有1个在集A中，,容易看到,P(A|B),一般 P(A|B) P(A), P(A),y,计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.,这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,下面给出条件概率的定义,1、定义：,2、条件概率的性质：,条件概率也是概率, 故具有概率的性质。,说明： 第三节中对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率。,例如：,作业,P33: 6, 11,
