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1、内容： 附录 截面图形的几何性质 静矩，惯性矩，惯性半径，惯性积，主惯性轴，形心主惯性矩，平行移轴定理，转轴公式,13,附 录,要求： 掌握全部概念，会计算简单组合图形的形心主惯性矩,练习： 静矩1，组合图形的形心主惯性矩2,作业： 附I 5(a) ， 6， 11， 12,力学响应的决定因素,荷载 材料 几何性质,附录 截面图形的几何性质,几何性质只与横截面的几何形状和尺寸 有关的某些几何量，对杆件的应力和变形起着 重要作用，如横截面面积A、圆轴横截面对圆心 的极惯性矩IP等。,拉压杆,圆轴扭转,梁的几何性质对变形的影响,几何性质对变形的影响,. 1 静矩和形心,1. 静矩（一次矩）,代数量,
2、单位 m3,2. 形心,按合力矩定理理解均匀薄板的重心,3. 形心与静矩的关系, Sz = A yC,图形对一个轴的静矩，等于该图面积 与其形心坐标的乘积,Sy = A zC,同理,几个特例,形心必位于对称轴上,C,y,z,结论 图形对其任意形心轴的静矩为零,C,y,z,Sy = A zC,y 是形心轴时 zC=0 Sy=0,例-1,解：,C,求图示三角形对底边轴的静矩Sy 和形心,dA = b(z)dz,由相似三角形，知,O,例-2,解：由对称性,求图示半圆的Sy 、 Sz 和形心,yC = 0， Sz = 0,由图,由图,例-2,4. 组合图形的静矩和形心 组合图形由几个简单图形组成的图形
3、,组合图形的静矩和形心,一般地,组合图形的静矩和形心,.2 惯性矩、惯性积、惯性半径,1. 惯性矩,二次矩 单位 m4,显然，图形分布距离某轴越远 对该轴的惯性矩就越大,2. 惯性积,混合二次矩 代数量 单位 m4,y、 z 轴中有一个是 对称轴，则 Iyz=0,3. 惯性半径,单位 m,矩形,圆形,4. 惯性矩与极惯性矩的关系, 2 = y2z2,即 IP = IzIy,图形对通过一点的任意两个正交坐标轴 的惯性矩之和为一常数,. 3 平行移轴公式,1. 平移轴公式已知对形心轴的惯性 矩和惯性积， 求对所有 与该形心轴平行的轴的 惯性矩和惯性积,例如 已知Iyc 、y yC ，求Iy,Iy
4、=,图形对一轴的惯性矩，等于对平行于此轴的形心轴 的惯性矩，加上图形面积与此二轴距离平方的乘积,z = zC + a,平行移轴公式Iy = Iyc + a 2AIz = Izc + b 2AIyz= Iyczc+ a bA,在一组平行轴中，图形对其形心轴的惯性矩最小,惯性积公式中 a、b 为形心坐标，注意其正负号,记住图形对形心轴的惯性矩，便可求出对所有 平行于此形心轴的各轴的惯性矩,例- 4 已知矩形对形心轴y 、z 惯性矩和惯性积，求对y1轴、z1轴 的惯性矩和惯性积。,2. 组合图形的惯性矩,若,则,组合图形对某轴的惯性矩，等于各组成 图形对同一轴惯性矩的和,20,已知：C 为形心 求：
5、Izc. 解：,zC,由对称性，形心位于对称轴上,1. 求形心位置,例,20,20,2. 求Izc,zC,例,20,= 37. 67106 mm4,解：,1. 求半圆形对自身 形心轴的惯性矩,例- 5 求图形对形心轴的惯性矩,2. 求半圆形对形心轴的惯性矩,= 3467104 mm4,例- 5,矩形对 y 轴的惯性矩,半圆形对 y 轴的惯性矩,(Iy.)2 = 3467104 mm4,= 5330104 mm4,图形对形心轴的惯性矩,Iy = (Iy.)1 +2(Iy.)2 = 5330104 + 23467104 =12260104 mm4,一、转轴公式,坐标原点不变，坐标轴 旋转，图形对轴
6、的惯性矩 和惯性积的变化, 角 自y 轴正向逆时针转动为正,新旧坐标转换关系y1= y cosz sinz1= z cosy sin,.4 转轴公式 主惯性轴,整理后得,讨论Iy1, Iz1, I y1z1 都是 角的有界周期函数,Iy1 Iz1 = Iy Iz = Ip = 常数,1. 主惯性轴若 Iy1z1 = 0，则 y1、z1 轴称为主惯性轴 主惯性轴位置,0 为主惯性轴与 y 轴的夹角，有两个解，正交,形心主惯性轴,通过形心的主惯性轴称形心主惯性轴,对称轴必为形心主惯性轴,二、主惯性轴和主惯性矩,形心主惯性轴,2. 主惯性矩,图形对主惯性轴的惯性矩，称主惯性矩。 已知 Iy、Iz、I
7、yz 时，主惯性矩可由下式计算,Iy0 Iz0,主惯性矩的意义,对,求导,即 Iy1z1 = 0,所以，主惯性轴就是使得图形的惯性矩取得 极值的坐标轴,主惯性矩就是图形对通过一点的所有坐标轴 的惯性矩中的最大值或最小值,3. 形心主惯性矩,图形对形心主惯性轴的惯性矩。形心主惯性矩对梁的应力分布和变形 计算起着十分重要的作用。 计算步骤确定形心； 确定对任意形心轴的惯性矩和惯性积；计算形心主惯性矩。,例题,求形心主惯性矩,2. 求形心,解: 1. 选坐标 yoz,例题,3. 求 Iyc 、Izc、Iyczc,20,30,20,Iyczc =10020（3020 ),+ 10020（2030 ),= 2.4106 mm4,例题,4. 求形心主惯性矩Iz0Iy0,=,6.93106 mm4,1.73106 mm4,Iyczc= 2.4106 mm4,5.形心主惯性轴,0 =33.7,Imax = Iz0 =6.93106 mm4,Imin = Iy0 = 1.73106 mm4,作业,附I 5(a)，I 6 ， I 11 ， I 12,再见,5-2(d)列剪力方程和弯矩方程，作剪力图和弯矩图,5-12 起吊时吊点位置x为多少时是合理的,
