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1、试卷第 1 页,总 74 页二次函数培优综合练习一1如图,已知抛物线 yx2bxc 经过 A(-1, 0)、B(4, 5)两点,过点 B 作 BCx 轴,垂 足为 C (1)求抛物线的解析式; (2)求 tanABO 的值; (3)点 M 是抛物线上的一个点,直线 MN 平行于 y 轴交直线 AB 于 N,如果以 M、N、B、C 为顶点的四边形是平行四边形,求出点 M 的横坐标【答案】 (1)y=x2-2x-3 (2), (3)、1 933 5 233 5 235 235 2【解析】 试题分析:(1)将 A(-1,0)、B(4,5)分别代入 y=x2+bx+c 求出 b 和 c 的值即可;(2
2、)过点 O 作 OHAB,垂足为 H,根据勾股定理可求出 AB 的长,进而得到:在RtBOH 中,tanABO= 221 299 2OH BH(3)设点 M 的坐标为(x,x2-2x-3),点 N 的坐标为(x,x+1),在分两种情况:当 点 M 在点 N 的上方时和当点 M 在点 N 的下方时,则四边形 NMCB 是平行四边形讨论 求出符合题意的点 M 的横坐标即可 试题解析:(1)将 A(-1,0) 、B(4,5)分别代入 y=x2+bx+c,得,101645bcbc 解得 b=-2,c=-3 抛物线的解析式:y=x2-2x-3 (2)在 RtBOC 中,OC=4,BC=5 在 RtACB
3、 中,AC=AO+OC=1+4=5,AC=BCBAC=45,AB=225 2ACBC 如图 1,过点 O 作 OHAB,垂足为 H试卷第 2 页,总 74 页在 RtAOH 中,OA=1,AH=OH=OAsin45=1=,2 22 2BH=AB-AH=,29 25 222在 RtBOH 中,tanABO=221 299 2OH BH(3)直线 AB 的解析式为:y=x+1 设点 M 的坐标为(x,x2-2x-3) , 点 N 的坐标为(x,x+1) , 如图 2,当点 M 在点 N 的上方时,则四边形 MNCB 是平行四边形,MN=BC=5 由 MN=(x2-2x-3)-(x+1)=x2-2x
4、-3-x-1=x2-3x-4,解方程 x2-3x-4=5,得 x=或 x=33 5 233 5 2如图 3,当点 M 在点 N 的下方时,则四边形 NMCB 是平行四边形,NM=BC=5试卷第 3 页,总 74 页由 MN=(x+1)-(x2-2x-3)=x+1-x2+2x+3=-x2+3x+4,解方程-x2+3x+4=5,得 x=或 x=35 235 2所以符合题意的点 M 有 4 个,其横坐标分别为:、33 5 233 5 235 235 2考点:二次函数综合题 2如图所示,现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD,点 P 为正方形 AD 边上的一点 (不与点 A、点 D 重合)将正方形
5、纸片折叠,使点 B 落在 P 处,点 C 落在 G 处,PG 交 DC 于 H,折痕为 EF,连接 BP、BH (1)求证:APB=BPH; (2)当点 P 在边 AD 上移动时,PDH 的周长是否发生变化?并证明你的结论; (3)设 AP 为 x,四边形 EFGP 的面积为 S,求出 S 与 x 的函数关系式,试问 S 是否存 在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由【答案】 (1)见解析 (2)不变化 见解析 (3)存在 最小值 6 【解析】 (1)根据翻折变换的性质得出PBC=BPH,进而利用平行线的性质得出 APB=PBC 即可得出答案。 (2)先由 AAS 证明ABPQ
6、BP,从而由 HL 得出BCHBQH,即可得 CH=QH。因 此,PDH 的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8 为定值。 (3)利用已知得出EFMBPA,从而利用在 RtAPE 中, (4BE)2+x2=BE2,利用 二次函数的最值求出即可。 解:(1)如图 1,PE=BE,EBP=EPB试卷第 4 页,总 74 页又EPH=EBC=90, EPHEPB=EBCEBP,即PBC=BPH。 又ADBC,APB=PBC。APB=BPH。 (2)PHD 的周长不变为定值 8。证明如下: 如图 2,过 B 作 BQPH,垂足为 Q。由(1)知APB=BPH, 又A=BQP=
7、90,BP=BP, ABPQBP(AAS) 。AP=QP,AB=BQ。 又AB=BC,BC=BQ。 又C=BQH=90,BH=BH,BCHBQH(HL) 。CH=QH。 PHD 的周长为:PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。 (3)如图 3,过 F 作 FMAB,垂足为 M,则 FM=BC=AB。又EF 为折痕,EFBP。 EFM+MEF=ABP+BEF=90。EFM=ABP。 又A=EMF=90,AB=ME,EFMBPA(ASA) 。 EM=AP=x在 RtAPE 中, (4BE)2+x2=BE2,即。2xBE2+8。2xCFBEEM2+x8又四边形 PEFG 与四边形
8、 BEFC 全等,。22211x11SBECFBC=4+x4=x2x+8=x2+622422试卷第 5 页,总 74 页,当 x=2 时,S 有最小值 6。10420, m2 3 421km4析. 【解析】 试题分析:(1)根据点在曲线上点的坐标与方程的关系,求出点 A 的坐标,根据 ABECBO 求出 CO 的长,从而根据轴对称的性质求出 DO 的长,进而求出BED 的面 积 S (2)分和两种情况讨论.0 2(3)连接 AD,由BED 的面积为求出现,得到点 A 的坐标,应用待定3m3系数法,设ADFAEFBDFBEFSS SS得到,从而AFkBFADFBDFAEFBEFSkS, SkS
9、.BDFBEFADFAEFADEBDFBEFBDFBEFBDE133k SSSSSAF322kBFSSSSS43连接 AD,应用待定系数法,设得到ADFAEFBDFBEFSSAFkSSBF,从而得到,因此ADFBDFAEFBEFSkS, SkS ADEBDESkS.22ADEBDE11mmS122kmm 2Sm4 得到,从而AFkBFADFBDFAEFBEFSkS, SkS 试题解析:(1)点 A 是抛物线上的一个动点,AEy 轴于点 E,且,21yx2AEm点 A 的坐标为. 当时,点 A 的坐标为.21m,m2m22, 1 点 B 的坐标为,BE=OE=1.0, 2 试卷第 16 页,总
10、74 页AEy 轴,AEx 轴. ABECBO.,即,解得AEBE COBO21 CO2.CO2 2点 D 与点 C 关于 y 轴对称,.DOCO2 2.11SBE DO1 2 2222 (2)当时,如图,0 211SBE DOAE OBm22综上所述,S 关于的函数解析式.mSm m 0, m2 (3)如图,连接 AD,BED 的面积为,.点 A 的坐标为.3Sm333,2设,.ADFAEFBDFBEFSSAFkSSBFADFBDFAEFBEFSkS, SkS .BDFBEFADEADFAEFBDEBDFBEFBDFBEFk SSSSSkSSSSS.ADEBDE133SAF322kBFS43
11、 试卷第 17 页,总 74 页k 与 m 的数量关系为,证明如下:21km4连接 AD,则,.ADFAEFBDFBEFSSAFkSSBFADFBDFAEFBEFSkS, SkS .BDFBEFADEADFAEFBDEBDFBEFBDFBEFk SSSSSkSSSSS点 A 的坐标为,.21m,m222ADEBDE11mmS122kmm 2Sm4 考点:1.二次函数综合题;2.单动点问题;3.曲线上点的坐标与方程的关系;4.相似 三角形的判定和性质;5.轴对称的性质;6.分类思想和待定系数法的应用.8如图,已知抛物线(为常数,且)与轴从左至右依次kyx2x48kk 0x交于 A,B 两点,与轴
12、交于点 C,经过点 B 的直线与抛物线的另一交点y3yxb3 为 D. (1)若点 D 的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式; (2)若在第一象限的抛物线上有点 P,使得以 A,B,P 为顶点的三角形与ABC 相似, 求的值;k (3)在(1)的条件下,设 F 为线段 BD 上一点(不含端点),连接 AF,一动点 M 从 点 A 出发,沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F,再沿线段 FD 以每秒 2 个单位 的速度运动到 D 后停止. 当点 F 的坐标是多少时,点 M 在整个运动过程中用时最少?试卷第 18 页,总 74 页【答案】 (1);(2)或 ;(3)F.3yx2x49k2
13、4552, 2 3 【解析】 试题分析:(1)根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系,依次求出的值得到直线b 的解析式、点 D 的纵坐标、的值得到抛物线的函数表达式.kBM=9,AB=6,BF=,BD=,AF=4 36 32 3(2)分PABABC 和PABBAC 两种情况讨论即可. (3)过点 D 作 DHy 轴于点 H,过点 A 作 AGDH 于点 G,交 BD 于点 F,则点 F 即为 所求,理由是,由于点 M 在线段 AF 上以每秒 1 个单位的速度运动,在线段 FD 上以每秒 2 个单位的速度运动,从而根据直线 BD 的倾斜角是 30知道,又根据垂1FGFD2直线段最短的性质知点 F
14、即为所求,从而根据含 30直角三角形的性质求解即可.试题解析:(1)抛物线(为常数,且)与轴从左至右kyx2x48kk 0x依次交于 A,B 两点, A(-2,0),B(4,0).点 B 在直线上,即.3yxb3 304b3 4 3b3直线的解析式为.34 3yx33 点 D 在直线上,且横坐标为-5,纵坐标为34 3yx33 .34 3y53 333 点 D 在抛物线上,解得.kyx2x48k3 352548 8 3k9抛物线的函数表达式为.3yx2x49(2)易得,点 C 的坐标为,则0,k .22OA2, OB4, OCk, AB6, AC4k , BC16k 试卷第 19 页,总 74 页设点 P 的坐标为,kp,p2p48分两种情况:若PABABC,则PAB=ABC,.APAB BABC由PAB=ABC 得,即.PABtantABanCPHOC AHOB,解得.kp2p4k8 p24 p6此时点 P 的坐标为,6, 2k 222AP622k2 16k由得,解得.APAB BABC222 1