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1、1二次函数知识点一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 2yaxbxcabc何何0a 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全0a bc何体实数2. 二次函数的结构特征：2yaxbxc 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是 2xx 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项abc何何abc二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：的性质：2yaxa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 的性质：2yaxc上加下减。3. 的性质：2ya xh左加右减。的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向
2、上00何轴y时，随的增大而增大；时，0x yx0x 随的增大而减小；时，有最小yx0x y 值00a 向下00何轴y时，随的增大而减小；时，0x yx0x 随的增大而增大；时，有最大yx0x y 值0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0c何轴y时，随的增大而增大；时，0x yx0x 随的增大而减小；时，有最小yx0x y 值c0a 向下0c何轴y时，随的增大而减小；时，0x yx0x 随的增大而增大；时，有最大yx0x y 值c的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0h何X=h时，随的增大而增大；时，xhyxxh 随的增大而减小；时，有最小yxxhy 值024. 的性质：2ya
3、 xhk三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；2ya xhkhk何 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2yaxhk何【 【 (h0)【 【 【 (h0)【 【 【 (k0)【 【 【 (h0)【 【 【 (h0)【 【 【 (k0)【 【 【 【 (kO；4a+cO，其中正确结论的个数 为( )A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D4 个 答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x
4、=2，则抛物线的顶点坐标为( )A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2) 答案：C 例 4、 （2006 年烟台市）如图（单位：m） ，等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直 到 AB 与 CD 重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2 （1）写出 y 与 x 的关系式； （2）当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴.例 5、已知抛物线 y=x2+x-1 25 2 （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴 （2）若该抛物线与 x 轴的两个
5、交点为 A、B，求线段 AB 的长 【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程 的关系9例 6.已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4，10)，交 x 轴于，两点)0 ,(1xA)0 ,(2xB，交 y 轴负半轴于 C 点，且满足 3AO=OB)(21xx (1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点 M，使锐角MCOACO?若存在，请你求出 M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由 (1)解：如图抛物线交 x 轴于点 A(x1，0)，B(x2，O)， 则 x1x2=3O，x1ACO例 7、
6、 “已知函数的图象经过点 A（c，2） ， cbxxy2 21求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 （1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程， 并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。 （2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结 论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 A（c，2） ” ，就可以列出两个 方程了，而解析式中只有
7、两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给 出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添 加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交 点的坐标等。解答 （1）根据的图象经过点 A（c，2） ，图象的对称轴是 x=3，得cbxxy2 21 , 3212, 2212bcbcc解得 . 2, 3cb所以所求二次函数解析式为图象如图所示。. 23212xxy（2）在解析式中令 y=0，得，解得023212 xx. 53,5321xx10所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标
8、是（3+”或“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标)0 ,5是).0 ,53( 令 x=3 代入解析式，得,25y所以抛物线的顶点坐标为23212xxy),25, 3( 所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。)25, 3( 函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数； 将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题 例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图） ，其中 AF=2，BF=1试在 AB 上求一 点 P，使矩形 PNDM 有最大面积【评析】本题是一
9、道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查 学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间 例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关 系如下表： x（元）152030 y（件）252010若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【解析】 （1）设此一次函数表达式为 y=kx+b则 解得 k=-1，b=40，即一次函数表1525, 220kb kb
10、 达式为 y=-x+40（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元w=（x-10） （40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在 “当某某为何值时，什么最大（或最小、最省） ”的设问中，“某某”要设为自变量， “什么”要设为函 数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例 3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、25 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是 15 m，则学生丁的身 高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( ) A15 m B1625 m C166 m D167 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案：B
