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1、课题,常用的思想方法,知识梳理,典型例题和及时反馈,中考命题分析,考点链接,知识梳理,数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，教材没有专门的章节介绍它，而是伴随着基础知识的学习而展开的。它是数学的精髓，也是解题的指导思想。,知识梳理,在初中数学中，最常用的数学思想方法有：换元法、配方法、待定系数法、分类讨论思想和数形结合思想等。 它们是初中数学中非常重要而且应用十分广泛的解题思想方法。,中考命题分析,考点链接:一、换元法,所谓换元法，就是把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。换元的实质是转化。换元法的关键是能发现具有共同结构特征的式子，然后用一个字母表示它。,一、换
2、元法,考点链接,典型例题,典型例题,例1、已知方程 ，如果设 ,那么原方程可化为_ （写成关于y的一元二次方程的一般形式）,分析：方程整理，得,去分母，得,典型例题,例2、阅读材料，解答问题 为了解方程 我们可以将 视为一个整体，然后设 ,则原方程可化为 解得 ， 当 时， ， ， ；当 时， ， ， 解答问题：（）填空：在由原方程得到方程的过程中，利用_法达到了降次的目的，体现了_的数学思想 （2）用上述方法解方程： ,换元,转化,解：(2)设 ,则原方程可化为 ,解得(舍去) 当 时, , , 原方程的解为 .,及时反馈,1、解方程若设 ，则原方程可化为_.,写成关于y的一元二次方程为,及
3、时反馈,2、已知 求 的值.,及时反馈,二、配方法,初中数学里的配方，就是把一个二次多项式的某些项配成一个或几个完全平方式。,依据: 步骤:1化二次项系数为；加上并减去一次项系数一半的平方 实质:二次项系数化为后根据一次项系数配平方项 应用:降次化归：如平方项的非负性，如：,典型例题,典型例题,例3、已知关于x的方程 求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根 .,证明：,无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根.,分析：,方程总有两个不相等的实数根 b2-4ac0,常用配方法来证明代数式的值恒为正（负）.,例4 、已知实数x,y 满足条件x2+y2+2x-4y+5=0
4、 ，求xy的值.,解：方程可化为x2+2x+1+y2-4y40 配方得 （x+1）2+(y2)2=0 要使等式成立，必须且只需解得 xy=（-1）2=1,典型例题,分析：方程的左边可以通过适当的分组，配方成两个完全平方式，再通过平方项的非负性 得到两个方程，从而得解,及时反馈,1、如果 ，则 a= ，b= .,2、已知x是实数，求代数式 的最小值.,2,1,当x=2时，代数式有最小值是1.,及时反馈,分析：常用配方法求二次三项式的最值问题,三、待定系数法,在给出的或设出的某些式子中常常含有一些等待确定的（未知的）参数，在解决某些问题时，我们常常可以将这些未知的量当成是已知量去应用公式、建立方程
5、，从而求出这些量。这种方法就叫待定系数法。,待定系数法具体应用时常常分两步：一是设出含待定系数的式子；二是应用公式或列方程求出待定的系数。,例5、已知 yy 1y2 ，y1 与 x 成正比例，y2 与 x 成反比例，并且当 x 1 时，y 2，当 x -2时，y 7，求 y 与 x 的函数关系式.,典型例题,典型例题,例6、已知二次函数的图象过(3，0)，(2，3)两点，并且以x1为对称轴，求这个二次函数解析式.,典型例题,解法三：由对称性知图象与x轴的另一个交点为（-1，0） 设二次函数解析式为 ，经过点（2，-3） ，,及时反馈,已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=-3，x2=
6、1，且与y轴交点为(0，-3)，求这个二次函数解析式。,及时反馈,分析：图象与x轴交点为（-3，0），（1，0），与y轴交点为(0，3)，,在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，很难从整体上加以解决。这时需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论。分类必须有一定的标准，标准不同，分类的结果也就不同。分类的关键是要做到不遗漏，不重复。,四、分类讨论思想,需要分类的原因是“不确定”，引起“不确定”的根源常常有以下一些情况: 1. 字母取值的不同导致运算结果不同； 2位置关系的不同导致图形结构不同； 3对应关系的不同导致讨论结果不同,典型例题,典型例题,例7、已知三个数1，
7、 , ，请你再添上一个(只填一个)数，使它们能构成一个比例式，则这个数是 _.,解析:由于题中没有明确这四个数的顺序，根据比例的基本性质，所添的数有三种可能性：即该数与已知三数中任一个的乘积等于其他两数的乘积。设这个数为x,则有,例8、抛物线 的对称轴与x轴交于点M，抛物线与y轴的交点是C点，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由,解析：抛物线的对称轴为：直线 设存在点P，使CMP为等腰三角形，有三种不同的情况：,若MP=MC，则,若CP=CM，则,若PM=PC，则,1. 若函数 与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标。
8、,及时反馈,及时反馈,分析（1）当a=0时, 此函数为一次函数y=3x+1,与x轴的交点为,（2）当 时,此函数为二次函数 当 = 时，与x轴只有一个交点. 解得a=1或a=9,当a=1时，函数为 ，交点为（-1，0） 当a=9时，函数为 ，交点为,2.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0x6）那么：当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？,解析：根据三角形相似的对应关系，可分为两种情况来讨论,当 时，QAPABC，则 ，解得
9、t=1.2.当t=1.2秒时，QAPABC.,当 时，PAQABC，则 ，解得t=3.当t=3秒 时，PAQABC。,2t,t,6-,五、数形结合思想,数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索, 通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。,解： ab=,例9.实数a、b在数轴上的位置如图所示：化简 ab=_,典型例题,典型例题,分析：由数轴上的位置可以得到 且 ，,-2a+b,典型例题,（2）与x轴交于(-1,0)和(3,0)两点,例10.如图为二次函数y=ax2bxc的图象，在下列说法中：ac0
10、； 方程ax2bxc=0的根是x1= 1, x2= 3 abc0 当x1时，y随x的增大而增大. 正确的说法有_ _.(把正确答案的序号都填在横线上),分析：（1）由图象可知，开口向上，与y轴交于负半轴，则,（3）由对称性知对称轴是,及时反馈,1、一次函数 与 的图象如图，则下列结论 ； ；当 时， 中，正确的个数是（ ）A0 B1 C2 D3,B,及时反馈,2、已知二次函数 的图象如图所示，则关于x的方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ） A B C D无法确定,C,及时反馈,小结,本节课重点讨论了换元法、配方法、待定系数法、分类讨论思想和数形结合等最常用、最重要的数学思想方法，并且学会了利用这些思想方法来解决问题。,
